1、學(xué)習(xí)排列組合幾點(diǎn)建議 摘 要：排列組合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，其思考方法獨(dú)特靈活，必須具備較好的抽象能力和邏輯思維能力。思考方法不同，解題思路也不一樣，因此，一道題目經(jīng)常存在多種解題方法，也極容易出現(xiàn)“重復(fù)”或“遺漏”的錯(cuò)誤。排列組合是高中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。 關(guān)鍵詞：基礎(chǔ) 方法和技巧 能力 中圖分類號(hào)：g4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：a 文章編號(hào)：1673-9795（2013）09（c）-0085-01 要學(xué)好本章除了學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)和掌握一些解題方法和技巧外，還要通過不斷的積累、思考，能做到舉一反三，觸類旁通，使思維能力和推理能力得到提高；才能真正的學(xué)好排列組合。 在基礎(chǔ)知識(shí)方面，“分類計(jì)數(shù)原理”和

2、“分步計(jì)數(shù)原理”是本章主線。要根據(jù)我們完成某件事時(shí)采取的方式來區(qū)分是分類還是分步，分類相加，分步相乘。排列與組合定義相近，它們的區(qū)別在于是否與順序有關(guān)。只取不排（無序）是組合問題，先取后排（有序）是排列問題。同時(shí)要掌握排列和組合數(shù)的計(jì)算。這是本章的重點(diǎn)，但不是難點(diǎn)。 本章的難點(diǎn)在解題方法和解題技巧上，下面介紹幾種常用的解題方法和技巧。 1 特殊元素優(yōu)先考慮，特殊位置優(yōu)先安排法 例1：用0，1，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ 分析：由于該四位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類

3、：（1）0排末尾時(shí)，有a個(gè)；（2）0不排在末尾時(shí)，0又不能排在首位，分三步考慮，第一步：個(gè)位從2和4中選一個(gè)，有a種；第二步：個(gè)位選定后，首位又不能為0，首位有a種；第三步：中間兩位從余下的四個(gè)數(shù)字選兩個(gè)排列，有a種；0不排在末尾有aaa個(gè)。共有偶數(shù)a+aaa=156個(gè)。 2 相鄰問題用捆綁法 在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先將相鄰的元素捆綁起來，看作一個(gè)元素與其余元素排列，然后再考慮捆綁在一起的元素的內(nèi)部排列就是捆綁法。 例2：5名男生，3名女生站一排，女生站在一起，有多少種不同的站法？ 解：把3名女生“捆綁”在一起看成一人，與5名男生一起看作6人，共有a種排法；又3名女生有a種排法

4、；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法aa=4320（種）。 注：運(yùn)用捆綁法解決排列問題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來的內(nèi)部的順序問題。 3 相隔問題插空法 不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開.解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法。 例3：在例2中，求女生彼此不相鄰的站法有多少種不同？ 解：先將5名男生站好，有a種排法；每相鄰的兩個(gè)男生之間留一個(gè)空位，有4個(gè)空位，加上兩邊的兩個(gè)空位，共7個(gè)空位，在7個(gè)空位中選3個(gè)空位排3名女生，有a種排法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有排法aa=25200（種）。 注：運(yùn)用“插空法”解決不相鄰問題時(shí)，要注

5、意欲插入的位置是否包含兩端位置。 4 分配問題隔板法 就是在n個(gè)相同的元素間的（n-1）個(gè)空中插入k個(gè)板，可以把n個(gè)元素分成k+1組的方法。 例4：把12個(gè)蘋果分給4個(gè)人，每人至少一個(gè)，有多少種不同的分法？ 分析：建立隔板模型：將12個(gè)蘋果排成一列，在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板，就可以把蘋果分成4份，每人得一份。 所以該題答案是：c=165（種）。 5 順難則反，逆向思維 有的排列組合的題目從正面分析較難，而從反面思考往往比較容易。 例5：以正方體的八個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成多少個(gè)不同的四面體？ 分析：若直接考慮哪四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成四面體，情況十分復(fù)雜，而從反面考慮哪四個(gè)點(diǎn)不能構(gòu)成四面體

6、，就比較容易。 不能構(gòu)成四面體有正方體的6個(gè)面和6個(gè)對(duì)角面，這12個(gè)面上的四個(gè)點(diǎn)不能構(gòu)成四面體，其他四個(gè)點(diǎn)都能構(gòu)成四面體。故本題答案為：c-12=58（個(gè)）。 6 順序固定用“除法” 元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。 例6：6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲乙 丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？ 分析：不考慮附加條件，排隊(duì)方法有a種，而其中甲、乙、丙的a種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有aa=120種。 7 有序分配問題逐分法 例7：有6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？ （1）平均分給甲、乙、丙三人。

7、（2）甲得一本，乙得兩本，丙得三本。 解：（1）每人得2本，可考慮甲先在6本書中任取2本，取法有c種，再由乙在余下的書中取2本，取法有c種，最后由丙取余下的2本，有c種取法； 所有取法為ccc=90（種）。 （2）選取方法同（1），所以共有取法數(shù)為ccc=90（種）。 點(diǎn)評(píng)：有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，常采用逐步分組法求解。 8 分排問題用“直排法” 把幾個(gè)元素排成若干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來處理。 例8：7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？ 分析：7個(gè)人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有a種。 排列組合的解題方法還有很多，對(duì)于同一問題有時(shí)還有多種方法，因此，要提高思維能力和嚴(yán)密推理能力，認(rèn)真思考和分析，找到最佳解題思路，選取最佳解題方法。只有學(xué)好基礎(chǔ)，掌握一些常見的解題方法，提高思維能力和嚴(yán)密推理能力，才能真正的學(xué)好排列組合。 參考文獻(xiàn)