1、5 函數的凸性與拐點 從兩個熟悉的函數從兩個熟悉的函數 2 yxyx與與的圖象來看的圖象來看 凸性的不同：凸性的不同： 2 (),yxyxA B上任取兩點上任取兩點 AB弦恒在曲線弦恒在曲線 的上方的上方(下方下方) . AB段段 2 yx A B x y O A B xy x y O 如如(1)和和(2)式中的不等號改為嚴格不等號式中的不等號改為嚴格不等號,則相應則相應 定義定義1 設設 f 為區間為區間 I上的函數若對于上的函數若對于 I 上的任意上的任意 12 ,(0,1),xx 兩點和任意實數總有兩點和任意實數總有 1212 (1)()(1) (), (1)fxxf xf x 則稱則稱

2、 f 為為 I上的一個凸函數上的一個凸函數. 反之如果總有反之如果總有 則稱則稱 f 為為 I 上的一個凹函數上的一個凹函數. 1212 (1)()(1) (), (2)fxxf xf x 的函數稱為嚴格凸函數和嚴格凹函數的函數稱為嚴格凸函數和嚴格凹函數. 2 ()yx 由此可得在，上為嚴格的凸函數，由此可得在，上為嚴格的凸函數， 很明顯，若很明顯，若 f (x)為為(嚴格嚴格)的凸函數的凸函數, 那么那么 f (x)就就 引理引理 f (x)為區間為區間 I上的凸函數的充要條件是：上的凸函數的充要條件是： 有有中中的的任任意意三三點點對對于于, 321 xxxI 3221 2132 ()()

3、()() (3) f xf xf xf x xxxx .0上的嚴格凹函數上的嚴格凹函數， yx 為為 為為(嚴格嚴格) 凹函數，反之亦然凹函數，反之亦然. 213 (1).xxx 從而有從而有 因為因為 f (x)為為 I 上的凸函數，所以上的凸函數，所以 213 ()(1)f xfxx 13 ()(1) ()f xf x 3221 13 3131 ()(). xxxx f xf x xxxx 312321213 () ()() ()() (),xxf xxxf xxxf x 證證 , 13 23 xx xx 設設 （必要性）（必要性） 于是于是 1 x 2 x 3 xO y x 整理后即為整

4、理后即為 (3) 式式. 即即 322212 () ()() ()xxf xxxf x 321213 () ()() (),xxf xxxf x 213 (1),xxx 由于必要性的證明是可逆的，從而得到由于必要性的證明是可逆的，從而得到 （充分性）（充分性）對于任意對于任意 13, (0,1).xx 設設 3221 2132 ()()()() . f xf xf xf x xxxx 則則 1313 (1)()(1) (),fxxf xf x 所以所以 f 為為 I 上的凸函數上的凸函數. 同理可證同理可證 f 為為 I 上的凸函數的充要條件是：對于上的凸函數的充要條件是：對于 123 ,Ix

5、xx中的任意三點有中的任意三點有 313221 213132 ()()()()()() . (4) f xf xf xf xf xf x xxxxxx 注注 (4) 式與式與 (1) 式是等價的式是等價的. 所以有些課本所以有些課本將將 (4) 式式 作為凸函數的定義作為凸函數的定義. ( 參見下圖參見下圖 ) 詹森詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麥丹麥 ) 1 x 2 x 3 x y x 1 ( )f x 2 ( )f x 3 ( )f x O 12 1, n 必必有有 1111 ()()(). nnnn fxxf xf x 12 12 1 ()()() , n n x

6、xx ff xf xf x nn 對于凹函數，請讀者自行寫出相應的定理對于凹函數，請讀者自行寫出相應的定理. 1, , 01, ni xxI 條條件件是是：任任給給1,2, ,in 1 , i n 特別取則特別取則這是著名的這是著名的詹森不等式詹森不等式 . . 由數學歸納法不難證明：由數學歸納法不難證明：f 為為 I 上的凸函數充要上的凸函數充要 (5) 式是凸函數最常用的不等式式是凸函數最常用的不等式 . 即：即： 11 11 ()(5) nn ii ii fxf x nn 例例 1 設設 f 為開區間為開區間 (a, b) 上的凸函數上的凸函數, 那么它在那么它在 下面舉例說明凸函數的內

7、在性質下面舉例說明凸函數的內在性質. . 證證 012 , 0,xa bhh對于任意的（）使對于任意的（）使 上處處連續上處處連續. (a, b) 中每一點的左、右導數存在中每一點的左、右導數存在. 特別是在特別是在 (a,b) 00 0 ()() ( ),( )(0,) f xhf x F hF hbx h 令令則則在在 0 .( , ),xa bxx上遞增 取由引理又得上遞增 取由引理又得 000 0 0 ()()()() ,(0,). f xf xf xhf x hbx xxh 010020 12 ()()()() . f xhf xf xhf x hh 00102 ,xxhxhb 由引

8、理得到由引理得到 0 ().fx 同理可證存在同理可證存在 這就證明了這就證明了F(h)有下界有下界. 所以所以 00 0 00 ()() lim( )lim(). hh f xhf x F hfx h 存在存在 注注 開區間上的凸函數處處連續開區間上的凸函數處處連續, ,但不一定處處可但不一定處處可 導導; ; 閉區間上的凸函數在端點不一定連續閉區間上的凸函數在端點不一定連續. . 定理定理 6.13 設設 f 為區間為區間 I 上的可導函數上的可導函數, 則下述則下述 (i)( );f xI為上的凸函數為上的凸函數 12 (iii),Ixx對于上的任意兩點有對于上的任意兩點有 (ii)(

9、);fxI 為上的增函數為上的增函數 21121 ()()()().f xf xfxxx 注注 (iii) 中的不等式表示切線恒在凸曲線的下方中的不等式表示切線恒在凸曲線的下方. 論斷互相等價：論斷互相等價： 證證 12 , (i)(ii)xxIh 任任取取和和正正數數使使 1212 , , .xxxhI xhI且且 22 ()() . hf xf x h 1121 21 ()()()()hfff xxxxf xxh f已知是凸函數，由(4)式已知是凸函數，由(4)式 因為因為令令,0 h 11 11 0 ()() lim()(), h hf xxf fxfx h 22 22 0 ()() l

10、im()(), h hf xf x fxfx h 所以所以 ( ).fx 故遞增故遞增 21 12 21 ()() ()(), f xf x fxfx xx 1212 ,(ii)(iii,.)x xIxx對對于于任任意意不不妨妨設設 212112 ()()( )().f xf xfxxxx 則則 ( ),fx 因為遞增 所以因為遞增 所以 21121 ()()()().f xf xfxxx 12012 (iii)()1i)xxxxx仍仍設設， (01), 則則 10010 ()()()(),(6)f xf xfxxx 20020 ()()()().(7)f xf xfxxx A B x y O

11、 (6)(7)(1) 將式乘以 ，式乘以作和，并注意到將式乘以 ，式乘以作和，并注意到 120 (1)0,xxx故故 01212 ()(1)()(1) ().f xfxxf xf x 我們在這里再一次強調，我們在這里再一次強調， 的切線位于曲線的下方的切線位于曲線的下方. 于相應曲線段的上方于相應曲線段的上方;而它而它 義是義是:曲線曲線 y = f (x) 的弦位的弦位 函數函數 f 是凸函數的幾何意是凸函數的幾何意 點擊上圖動畫演示點擊上圖動畫演示 證證 由定理由定理 6.13 立即可得立即可得. 定理定理6.14 設設 f (x) 在區間在區間 I 上二階可導，則上二階可導，則 f (x

12、) ( )0 ( )0).fxfx 我們在定理中列出了凸函數的三個等價性質我們在定理中列出了凸函數的三個等價性質. 對對 理理. 于凹函數也有類似的性質于凹函數也有類似的性質, 請大家寫出相應的定請大家寫出相應的定 在區間在區間I上是凸上是凸(凹凹)函數的充要條件為：函數的充要條件為： (, 0),( )0 ,( ) xfxf x 所以當時為凸函數；所以當時為凸函數； (0),( )0,( ).xfxf x 當，時為凹函數當，時為凹函數 解解 因為因為 例例 2 ( )arctan.f xx 討討論論函函數數的的凹凹凸凸性性區區間間 22 2 ( ),(,). (1) x fxx x 2 1

13、( ), 1 fx x (,),x (本例說明：在凸本例說明：在凸(凹凹)函數的條件下，可微函數函數的條件下，可微函數的的 極值極值點與穩定點是等價的點與穩定點是等價的.) 例例 3 設函數設函數 f (x)為為 (a, b) 上的可導凸上的可導凸(凹凹)函數函數. 00 ()0 ( ).fxxf x 那那么么的的充充要要條條件件是是為為的的極極值值點點 證證 充分性是顯然的充分性是顯然的(費馬定理費馬定理). 下面證明必要性下面證明必要性. 由定理由定理 6.13 的的 (ii), 是遞增的是遞增的. 所以所以()fx 0 ()0.fx 即即設設 f (x)是凸函數是凸函數, x0 是是 f

14、 (x) 的穩定點的穩定點, 00 ( )(),( ,);f xf xxa x 00 ( )(),(, ).f xf xxxb 00 ( )(),( , ),()( )f xf xxa bf xf x綜綜上上, ,即即是是的的 0 ( ,)( )0, ( )xa xfxf x 當當時時，是是遞遞減減的的，故故 (i) 0 (, )( )0,( ),xx bfxf x 當時,是遞增的 故當時,是遞增的 故(ii) 極小值極小值. . 注 注 我們實際上已經證明，對于可微凸函數，其極我們實際上已經證明，對于可微凸函數，其極 0 ()( )( )f xf xf x若若是是的的一一個個極極值值，則則僅

15、僅有有惟惟一一的的 極值，并且是極小值極值，并且是極小值. 證證 應當注意，這里并沒有假設函數應當注意，這里并沒有假設函數 f (x) 的可微的可微 ( )( , )f xa b設是區間上的一個嚴格凸函數，設是區間上的一個嚴格凸函數，例例 4 此下面這個例題自然就產生了此下面這個例題自然就產生了. 值總是極小值值總是極小值, 可微凹函數的極值總是極大值可微凹函數的極值總是極大值. 因因 性，所以例性，所以例 2 的方法就失效了的方法就失效了. 102 ( ) f xxxx因為嚴格凸,所以當時,因為嚴格凸,所以當時, 0120 0120 ()()()() . f xf xf xf x xxxx

16、0120 ()() ()()0.f xf xf xf x ( )f x又因是嚴格凸的，所以又因是嚴格凸的，所以 0120 ()()0,()()0,f xf xf xf x 0 ().f x所以是極小值所以是極小值 0 ()f x由于是極值,因此由于是極值,因此 120 , x xx當充分接近時,有當充分接近時,有 對于任意因為對于任意因為 f (x0) 是極小值，所以是極小值，所以 0 (, ),xxb 10 ()().f xf x 又因為又因為 f(x0) 是嚴格凸函數，所以是嚴格凸函數，所以 100 100 ()()( )() 0, f xf xf xf x xxxx 0 ( )().f

17、xf x 即即 同理可證：對于任意仍有同理可證：對于任意仍有 f (x0) f (x) . 0 ( ,),xa x 10 (,),xxx 存在使得存在使得 00 ()() ()()f xf xf xf x 和和 同時成立同時成立, 矛盾矛盾. .所以極值點惟一所以極值點惟一. . 設設 f (x) 有另一極小值有另一極小值 . 根據以上討論，把根據以上討論，把 ()f x x 和和 x0 分別看作極值點時分別看作極值點時, 有有 均為正數均為正數. 1 ( )ln1 ,( )0,fxxfx x ( )0f xx 所所以以在在時時為為嚴嚴格格凸凸的的. .由由詹森不等式 詹森不等式 1 ( (

18、)( )( ), 33 abc ff af bf c 3 (), , a b c acb abca b ca b c 證明不等式其中證明不等式其中例例 5 ( )ln ,f xxx 設則設則 證證 1 lnln. 333 abc abcabc a b c 即即 又因又因 3 , 3 abc abc 故有故有 31 lnln(). 33 abc abc abca b c 再由對數函數是嚴格增的，就證得再由對數函數是嚴格增的，就證得 3 (). a b c abc abca b c . 11 qp b q a p ab ( )ln . ( )0,( )f xxfxf x 設因故是設因故是0 x 上上 1111 ()() pqpq fabf af b pqpq .lnln 1 ln 1 abb q a p qp 11 . pq abab pq 即即 的嚴格凹函數，所以有的嚴格凹函數，所以有 11 0,0,0,0,1.abpq qp 設設求求證證例例 6 ( )Myf x 點為曲線的拐點.點為曲線的拐點. 圖中所示的圖中所示的M 是一個拐點是一個拐點. (0, 0)arctan; yx 例例如如點點是是曲曲線線的的一一個個拐拐點點 而而 cos, 0 , 2 yxk 余余弦弦曲曲線線的的所所有有拐拐點點為為 00 ( )(,()yf xM xf x 設曲線