1、知識框架一、帶余除法的定義及性質1. 定義：一般地，如果 a是整數，b是整數（b工0若有a4）=qr，也就是a= bXq+ r,0奇v b ;我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：（1）當r 0時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商（2）當r 0時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型 ：如圖屈這是一堆書，共有 a本，這個a就可以理解為被除數，現在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數的角色，經過打包后共打包了c捆，那么這個c就是商，最后還剩余 d本，這個d就是余數。這個圖能夠讓學生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關系。并且可以看出

2、余數一定要比除數小。2. 余數的性質 被除數 除數商 余數；除數 （被除數 余數） 商；商 （被除數 余數） 除數；余數小于除數.二、余數定理：1. 余數的加法定理a與b的和除以c的余數，等于a,b分別除以c的余數之和，或這個和除以c的余數。例如：23, 16除以5的余數分別是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余數等于4,即兩個余數的和 3+1. 當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之和再除以c的余數。例如：23, 19除以5的余數分別是3和4，所以23+19 = 42除以5的余數等于3+4=7除以5的余數為22. 余數的加法定理a與b的差除以c的余數，等于a,b分別除以c的余數之

3、差。例如：23, 16除以5的余數分別是3和1，所以23 16= 7除以5的余數等于2,兩個余數差3- 1當余數的差不夠減時時，補上除數再減。例如：23, 14除以5的余數分別是3和4 , 23- 14= 9除以5的余數等于4,兩個余數差為 3 + 5-4 =43. 余數的乘法定理a與b的乘積除以c的余數，等于a,b分別除以c的余數的積，或者這個積除以c所得的余數。例如：23, 16除以5的余數分別是3和1,所以23X 16除以5的余數等于3X1= 3。當余數的和比除 數大時，所求的余數等于余數之積再除以c的余數。例如：23, 19除以5的余數分別是3和4,所以23X 19除以5的余數等于3X

4、4除以5的余數，即2. 乘方：如果a與b除以m的余數相同，那么an與bn除以m的余數也相同.一、 同余定理1、定義整數a和b,除以一個大于1的自然數m所得余數相同，就稱 a和b對于模m同余或稱a和b 在模m下同余，即 a=b (modm )2、同余的重要性質及舉例。1 a=a(modm ) (a為任意自然)；2 若 a=b (modm)，貝U b=a (modm )3 若 a=b (modm), b=c (modm )貝9 a=cCmodm );4 若 a=b (modm),貝U ac= bc(modm )5 若 a=b (modm), c=d (modm),貝U ac=bd (modm );

5、6 若 a=b (modm )貝9 an三bm( modm )其中性質 3常被稱為 同余的可傳遞性 ,性質 4、 5常被稱為 同余的可乘性, 性質 6 常被稱為 同余的可開方性 注意：一般地同余沒有 可除性，但是：如果：ac=bc (modm )且(c, m) =1則a=b(modm )3、整數分類：1用 2來將整數分類,分為兩類：1, 3, 5, 7, 9,(奇數);0, 2, 4, 6, 8,(偶數) 2用 3 來將整數分類，分為三類：0, 3, 6, 9, 12,(被3除余數是0)1, 4, 7, 10, 13,(被3除余數是1)2， 5，8， 11 ， 14 ，(被 3 除余數是 2)

6、3在模 6 的情況下，可將整數分成六類，分別是：(mod6):0,6,12,18,24,(mod6):1,7,13,19,25,(mod6):2,8,14,20,26,(mod6):3,9,15,21,27,(mod6):4,10,16,22,29,(mod6):5,11,17,23,29,012345重難點一個自然數被9除的余數和這個自然數所有數字之和被9除的余數相同。同余在解答競賽題中有著廣泛的應用在這一講中，我們將深入理解同余的概念和性質，悟出它的一些運用技巧和方法.例題精講【例1】一個兩位奇數除1477，余數是49,那么，這個兩位奇數是多少這個兩位奇數能被1477-49= 142S整除

7、，且必須丸于49t142S=2x2x3x7xl71所以這岸的兩位奇數只有5L【鞏固】2024除以一個兩位數，余數是 22 求出符合條件的所有的兩位數.| 2024 - 22 - 2002 ?2002 - 2 x 7 x I J x 13 ,那么符合條件的所有的兩位救有 I 1.3,14,22,26,77,91 ?因劃涂毀小于除型所以舍去11J344.22,26 ,答案只有771【例2】兩數相除，商4余8，被除數、除數、商數、余數四數之和等于415,則被除數是因為祓除數減去S后是除數的4您川以；艮據和倍問題_可知，除數為Ul5-4-N)t4+l)=79 ,所以、被除數為79 x 4 “ X =眈

8、4 【鞏固】用一個自然數去除另一個自然數，商為40,余數是16被除數、除數、商、余數的和是933，求這2個自然數各是多少本題為帶余除法定義式的基本題型。報攜題意設兩個自然數分別為可以得到x40 + 16x + y + 40 + 16 933；工 即5個自磁分別是皿21.3的整數倍，每人的歲數都【例3】 一個家庭，有父、母、兄、妹四人，他們任意三人的歲數之和都是從任意三人歲數之和是3的倍數，100除以爭余】，就知四個歲數都是拆+】型的數，又是質數.只 有7, 13, 19, 31, 37, 43,就容易看出：父43歲，母37歲，兄口歲，妹7歲*【鞏固】有三所學校，高中 A校比B校多10人，B校比

9、C校多10人.三校共有高中生 2196人.有一所 學校初中人數是高中人數的2倍；有一所學校初中人數是高中人數的倍；還有一所學校高中、初中人數相等.三所學?？側藬凳?480人，那么A校總人數是 人.】三所學校的高中生分別是：沖根742人，5732人，匸校722人 如果沖?；駽校初中人數是高中人數的L5倍，該枚總人數是奇數，而按腮巻出條件得出其他兩孩總人數款是偶數，與三校 總人數54是偶敗矛盾*因此只能是占校的初申人貌是高申人就的1.5倍+三校初中的蹙人數是54SO-2196 = 32M4 s被3余余2； 7垃被3整除，722 1,742 + 742 = M84 （人）.求437 309 1993

10、被7除的余數.1方法一：先將軒了 H 30$ #1卿3算出以后，即437 X 309 x 19V3 - 269120769 .再求得此數被了除的余 數為L方法二:因為47釦余以了灼氽數為3, 309際嘆7的余數為L由*同余的可來性”知：437x309）除 o以7的余數為門“）*又固為1993 以7的余數為5,所以C437x309 U以7的 余戟箏于 5164- 582 ,6522-5164 = 135 t因為（5ftlb 1358） = 194 ,斯以A是194的大于10的約數.194的尢于H）的釣 數只有97和194+如果A - J94 , 2和竹+ 194 - 14- 120，余數不是兩位

11、數與題意不符.如杲N =97 t 經檢驗，余數都是23；除數4余數=97十23= 121） T【鞏固】一個大于1的數去除290, 235, 200時，得余數分別為 a , a 2 , a 5，則這個自然數是多少根據題意可知，這個自然數去除290 s 233, 195時，得到相同的余數（隸為“既然余歎相同，我們可以和用余數定理，可知其中任糞兩數的雀除嘆這個數肯定余0那么這個 自然數290- 233 = 57的約數，又是233-195 = 3S的場數：因地就是57和38的公約數因為57 和闘的公約數只有19和I,而這個數大于I,所以這個自然數是1*【例6】 有這樣一類2009位數，它們不含有數字

12、0,任何相鄰兩位（按照原來的順序）組成的兩位數都 有一個約數和20相差1,這樣的2009位數共有 個.I第一個數確定，就能確定第二個數，以此類菲，蹩*歎栽定下嶷了.所以一共就？個數. 【鞏固】在兩位數10, 11,，98, 99中，將每個被7除余2的數的個位與十位之間添加一個小數點，其余的數不變問：經過這樣改變之后，所有數的和是多少原來的io +11+ gg放7除余2射兩位數是7x2 *2190516 , 7x3 + 2 - 23 ,，7x13 + 2 = 93 ,共12個數”這些數按題中娶痕淋加小數點玖后祁變為原數的，因此這一手縷使總和減少了(16+23+93)x(!16 + 93)x125

13、8S.610所以.墟過改變之后，所有敬的和是49）5-5K8.6-43164【例7】甲、乙、丙三數分別為 603, 939, 393 某數A除甲數所得余數是A除乙數所得余數的2倍，A除乙數所得余數是 A除丙數所得余數的 2倍求A等于多少根據題意，逮三個敦除以A郴有余鞭，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來；603十心丄禺fj , 929十旳=心電,3934 =心電由于心=免珂、理二企、要消去余數 抵我們只能先把余數處理成相同的、再兩鞍相減.這樣我捫是把第二個式子乘以1. 使得披除數和余批都擴女2倍，同理，第三個丸子熏以4.于是我們可以痔到下面的式子:603 4- A = KI號（今対乂2） +

14、旳=2K22r3卩1H x 4）+ A = Z “4匚ii沖f余數就處:理辰相同的*最后兩兩相減消去余救，意味著能被沖整除.93 （1275,969）=51 =3x17,予1的約數有1、3. 17. 51,其中1、3顯然不滿足*檢驗門和51可知 17滿足，所以川尋于17.【鞏固】已知60,154, 200被某自然數除所得的余數分別是a 1 , a2, a3 1，求該自然數的值.根據題養可知*自然數61, 154, 201裁該數除所得余數分別是a2,由亍f m s 所嘆自然數613 = 3721與1勺4同氽；由于/ =血x ,所以厲斗=射4與201 同余所以除數是372J - 154 = 356

15、7乘9394-201 =9193的公約數，運用輾轉相除法可得到 (3567,9193)- 2Q ,該除數為29.經檢豔成立*【例8】【答案】29已知n是正整數，規定n! 1 2 L n ,令m 1! 12! 2 3! 3 L 2007! 2007，則整數 m除以2008的余數為多少I WT - I M + 2b 2007=1 tx(；2 - I) +- 1) + 3?t4 -1) +2007 !x(24mB - 1)=21-11+Jk 2k 41-3U-4-20081-20071=200S I- 1200能夠整除 霑3!,所以i的余數是2(XH.【鞏固】已知n是正整數，規定n! 1 2 L n

16、 ,令Q 3! 3 4! 4 5! 5 L 2012! 2012，則整數 Q除以2013的余數為多少c = 3lx3 + 4x4 + 5Jx5+20121x2012=+ 2!-f 3J十+2012(2013-1) -11-21x2=2!- 11+ 3!-2145-3!+ + 2013!-2012E-11-2h 2-20131- 62013能夠整冷201刖，所以2013!- 6的余數是2007.【例9】 設n為正整數，k 2004n , k被7除余數為2, k被11除余數為3，求n的最小值.21XJ4 k 7除余就為2,粧II除余數也為2所以2”被7除余數為2,被1】除余數為3.由于21 = 2

17、被7除余2, ft &被7除命1 ,所以n險以3的余數為1;由于: 256被11除余3,-1024械11除余1, Ma n除以1(的余數対& 吁見，H+2是孑和1U的公倍數，儘4、曲戈叫=劌，所 以“的最小僅為2乩【鞏固】試求不大于100，且使3n 7n 4能被11整除的所有自然數n的和.通過逐次計鼻，可以求岀r被1】除的余敘依次為：V為3,為少F為影外為4,住為1,， 因而3”秋11除的余數5個構戒一個周期：為9、5, 4. 1, 3, 9、5, 4, I, ;類椒地*可以求出7被II除的余歎H)個構成一個周期：7, 5 2, 31 10, 4 6, 9,去I,；于是3*+7*+4被】1除的

18、急數也是10個構麗一個周期：3, 7 0 0, 4, 0,嘉7 5t ;這就表明，每一個周期中，只有第3、4. 6個這三個數滿足題意，即1 3,4,6,13.144693,94.96時3ft + 7ft + 4能祓11螯除，所久 所有滴足條伴的自然數憶的和為:心3十4十&*13十14彳16 + F3十94 刖6 = 13i嗎3十十2K3 = 148O ,【例10】一個大于10的自然數去除90、164后所得的兩個余數的和等于這個自然數去除220后所得的余數，則這個自然數是多少這個自然數去除90、164后所得的兩個余數的和等于這個自然數擊除9Q+ IM = 254后所得的余 數，所以254 ?fp

19、 220除以這個自然數后所得的命敦相同個此這個自然數是254-220-34的約數， 又大于H),這人自然數只能是17或者是S4如覺這個數是弭，那么它去除90、164、22()后所得的余數分別是22* 28. 16,不符合題目條件； 如果這個數是17,那么它去除9k 164. 220后所得的余數分別是靈1J. 16,捋合題目條件， 所以這個自然數是1Z【鞏固】兩位自然數ab與ba除以7都余1，并且a b，求ab ba .ab ba 能械,7 整除，即(1 Oct 4-i) 10fr 4- ) = 9x( a b7 整除* 所以只館有 a h = 7，那么 ab可能為92和HI,臉算可得當= 92

20、時：幾二29滿足題目要求，=)2x 29 = 2668課堂檢測【隨練1】已知2008被一些自然數去除，所得的余數都是10，那么這樣的自然數共有多少個扎題為一道命敎與約數個數計算公式的小綜含性題可*由題意所求的自然數一定是20()8-10即1紗苦的釣數，阿時還要滴足丸于10這令荼件。這樣題日就轉化為1有多少個丸于10的鮒數，199B = 2x33x37 ,共有(1+1) X (3+1 ) X (1+1 )=】6 個約數* 算中 L 2, 3, & 9 是比 H)小 的的約虬 所以符合題目條件鈞自然敬拱有II個.找規律.用7除2,尸，貞 才，的余數分別是2, 4, 1, 2, 4,】，2, 4, 1,2 的個數是3的倍數時，用7除的余數為I; 2的個數是3的倍數多1時，用7 1余的余數為2; 2的 個數是3的倍數多戈時，用7除的余數為4.因為2沖F曲S 所23003除以7余4又兩個 數的積徐悶7的余數，與兩個數分別除規7所再余數的積相同.而2(X)3除以7余1,所kU2OO3a 階以7余匕 故2噸與20033的和除以7的余數是4 + I -5 .【隨練3】M、N為非零自然數，且2007m 2008n被7整除。M N的最小值為