1、一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）學習目標：1 .通過觀察、歸納，猜想根與系數的關系，并證明此關系成立，使學生理解其理論根據;2 .使學生運用根與系數關系解決有關問題。學習重點：重點：一元二次方程根與系數的關系；難點：從具體方程的根發現一元二次方程根與系數之間的關系。預習感知：（課前完成）從表中找出兩根之和 xi+ x2與兩根之積xix2和a、b、c的關系：2.再看后面三個方程（二次項系數不是1）,觀察x1+ x2, xi x2的值與系數的關系;方程兩個根的x、x2 值兩根之和x1+ x2兩根之積x1 x2x1x2x2+5x+6=0-2一3x2-8x-9=09一1x -4x-4=02+ 7

2、72 773x2-4x+6=02232x2+7x-4=012一46x2+7x-3=0_31235x2-23x+12=04351.先從前三個方程（二次項系數是1）觀察的值與一次項系數及常數項的關系;3 .猜想 ax2+bx+c=0 （aw。）的 x1+ x2, x1x2與 a、b、c 的關系；我的猜想是：x1+ x2 =, x1 x2 =；4 .怎樣證明上面的結論？（求根公式是具有一般性的,我們用求根公式來證明就可以了）14歸納：對于一兀二次方程 ax2+bx+c=0 （aw0）,如果方程有兩個實數根 xi, x2,那么xi+ x2= bc一二，x1 x2=二。 aa說明：（1）定理成立的條件是

3、0；（2）注意公式中xi+ x2= -b,的負號與b的符號的區別。a通過自學，我的困惑和問題是 .（二）共研釋疑（課內完成）1 .組內交流“預習感知”中的疑難和困惑；2 .各組匯報需要幫助解決的問題，讓能解決的學習小組代表解決。（三）典型例題例子1:說出下列方程的兩根之和、兩根之積是多少？（1） x2-3x+1=0（2） 3x2-2x=2（3） 2x2+3x=0(4) 3x2=1(5) x2+px+q=0例2:利用根與系數的關系, 倒數和；（3）（x1-x2）2求一元二次方程 2x2+3x-1=0的兩根x1, x2的（1）平方和；（2）(4)(x1 + 1) (x2+1)(5) | xl x2

4、|例3:已知方程5x2+ k x6=0的一個根是2,求它的另一個根及 k的值.(四)遷移運用1,已知關于x的一元二次方程 x2mx+2m1=0的兩個實數根的平方各為 23,求m的值.2.已知“、3是方程x2+2x-7=0的兩個實數根，求02+3+4 3的值.21 24.已知關于x的一兀二次方程 x2-2kx+ 2k2-2=0(1) 求證：不論k為何值，方程總有兩個不相等的實數根；(2) 設x1，x2為方程的兩個根，且滿足x/-2kx1+2x1x2=5,求k的值.（五）心得交流。（教師引導，學生總結）（六）評測拓展1、若xi、x2是一兀二次方程 x2-5x+6=0的兩個根，則x1+ x2的值是（

5、）a、1b、5c、-52、已知方程3x2-5x-7=0的兩個根是xi, x2,則下列各式中正確的是（d、6)a、x1+ x2=5, x1 x2 = 7b、x1+ x2= 5, 5x1 x2 =一-7757c、x1+ x2= 3?x 1 x2 =3d、x 1+ x2=3)x1 x2 =-33、若 x1, x2是方程2x2-6x+3=0的兩個根，則工+的值為（ x1 x2)a、2b、-2c、24、若xi, x2一元二次方程x2-4x-c=0的兩個根是，求另一個根及c.9d、25、設xi, x2是方程2x2-6x+3=0的兩個根，求下列各式的值:22(1 ) xi x2+x 1x26、若x1, x2

6、是方程x2+6x+3=0的兩個實數根，求強+”的值.x1 x27、已知方程x2+5x+k=0的兩根之差為3,求k的值.8、已知關于x的方程（a2-1） x2-（a+1） x+1=0的兩實數根互為倒數，求a的值.一元二次方程根與系數的關系(韋達定理)學習目標:1、學會用韋達定理求代數式的值；2、理解并掌握應用韋達定理求待定系數；3、理解并掌握運用韋達定理構造方程，解方程組;4、能應用韋達定理分解二次三項式。學習重難點：重點：根與系數的關系；難點：根與系數關系的應用典型例題： 根與系數關系的三大用處:(1) 計算對稱式的值 說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形:(1)(2)(3)x

7、i2+x22=(x1+x2)2-2xix2；1 1 x1+x2x1 x2= x1x2(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2；(4) |x1一x2|=j(x1 +x2)2 - 4x1 x2(5) x1x22+x 12x2=x 1x2(x1+ x2)等等，韋達定理體現了整體思想。例：若x1, x2是方程x2+2x-2007=0的兩個根，試求下列各式的值:(1) x12+x22(2)1 1x1 x2(3) (x5)(x2-5)(4) |x1x2|(2)構造新方程理論：以x1、*2兩個數為根的一元二次方程是x2- (x1+ x2) x+x 1 x2=0.例：解方程組lx+y=5xy=6(3)例

8、1定性判斷字母系數的取值范圍 一個三角形的兩邊長是方程2x2-kx+2=0的兩根，第三邊長為 2,求k的取值范圍.1 2x+4k +1=0,根據下列條件，分別求出k的值:例2已知關于x的方程x2- (k+1 )(1)方程兩實數根的積為5;(2)方程的兩實根x1, x2滿足|刈=x2.評測拓展a組1 . 一元二次方程(1-k) x2-2x-1=0有兩個不相等的實數根，則 k的取值范圍是()a、k2b、k2 且 kw12 .已知菱形abcd的邊長為5,兩條對角線交于點 。，且oa、ob的長分別是關于 x的 方程x2 + (2m-1) x+m 2+3=0的根，則 m等于()a、-3b、5c、 5 或

9、-3d、-5 或 33 .若t是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0)的根，則判別式=b2-4ac和完全平方式 m= (2at+b) 2的關系是()a、/=mb、mc、md、大小關系不能確定4,若實數awb,且a、b滿足a2-8a+5=0, b2-8b+5=0,則代數式號+配的值為()a-1 b-1a、-20b、2c、2 或-20d、2 或 205 .如果方程(b-c) x2+ (c-a) x+ (a-c) =0的兩根相等，則 a、b、c之間的關系是 .6 .已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程2x2-8x+7=0的兩根，則這個直角三角形的的斜邊長是.7 .若方程2x2-(k+

10、1)x+k+3=0的兩根之差為1,則k的值是.8、設xi, x2是方程x2+px+q=0的兩實根，xi+1, x2+i是關于x的方程x2+qx+p=0的兩實 根，貝 u p=, q=。9 .已知實數 a、b、c 滿足 a=6-b, c2=ab-9, a=, b=, c=。10 .若n0,關于x的方程x2- (m-2n) x+：mn=0有兩個相等的正實數根，求 m勺值。11 .已知關于 x的一元二次方程 x2+ (4m+1) x+2m-1=0.(1)求證：不論 m為何實數，方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程的兩根為xn x2,且滿足1+1= -1,求m的值.x1 x2212 .已知關于x的

11、方程x2 - (k+1) x+4k2+1 =0的兩根是一個矩形兩邊的長。(1) k取何值時，方程存在兩個正實數根？(2)當矩形的對角線是 j5時，求k的值.b組1.已知關于x的方程(k-1) x2+ (2k-3) x+k+1=0有兩個不相等的實數根 xi, x2.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數k,使方程的兩實數根互為相反數？如果存在，求k的值；如果不存在,請說明理由.2,已知關于x的方程x2+3x-m=0的兩個實數根的平方和等于11,求證：關于x的方程(k-3) x2+kmx-m 2+6m-4=0有實數根.3.若x1, x2是關于x的方程x2- (2k+1 ) x+k2+1=0的兩個

12、實數根，且 x1, x2都大于1. (1)求實數k的取值的范圍；(2)若4=；,求k的值.x2 2a a x2+bx+(2a)2= -a+ / b、2 b -4ac (x+2a) =hxi=-b+ :b2-4ac2ax2=-bqb2-4ac根的判別式：b2-4ac,用符號2a2”表示根與系數的關系:xi+ x2=-b+mb2-4ac+-b - jb2-4ac -2b. b2a2a2a axi x2=-b+ qb2-4ac -b b2-4ac (-b) 2-( b2-4ac) 2 1 3 . 1=2a2a4a4ac c4a2 =a一元二次方程根與系數的關系（復習）預習感知：（課前完成）重現根的判

13、別式以及根與系數的關系的由來（課本內容）7l二次方程 ax2+bx+c=0 （aw0, b2-4ac0）,的求根公式的推導: ax2+bx+c=0 (aw0), x2+bx+a=0x2+bx= -c. aw0, 4a2 0,又 b2-4ac r 0常見的形式:(1)(2)(3)(4)11 _x1+x2x1 x2- x1x2x12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x2 ；(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x22 l|x1x2|=j(x +x2) -4x1x21.判定一元二次方程的根的情況時，當力當=0時0時，當0時,2 .如果方程ax2+bx+c=0 （aw0）的兩根是x1,3

14、.如果方程x2+px+q=0的兩根為x1x2,那么x2,那么x1+x2=xi+x2= ； x1 x2=x1 x2=.4 .以兩個數x1,x2為根的次方程（二次項系數為1）是5.寫出以2、3為根，二次項系數為 1的共研釋疑（課內完成）例題講解：二次方程為例1:(1)不解方程，請說出下列 x2-4x-3=0 ,.次方程的兩根的和與兩根的積:（2） 4x2-4x+1=0例2:設xi, x2是方程2x2-3x-1=0的兩個實數根，利用根與系數的關系，求下列各式的值:(1)1 1x1 x2x 2(2)(x1-x2)例3:關于x的方程kx2+(k+20x+k=0有兩個不相等的實數根，是否存在實數k,使方程

15、的兩個實數根的倒數和等于0?若存在，求出k的值，若不存在，說明理由。例 4：已知關于 x 的方程 x2+2(a-1)x+a2-7a-4=0 的兩根為 xi, x2,且滿足 xix2-3xi-3x2-2 =0, 求(1 +言)等的值.例5:已知 abc的兩邊ab、ac的長恰好是關于 x的方程x2+(2k+3)bx+k 2+3k+2=0的兩 個實數根，第三邊 bc的長為5.(1)求證：abwac(2)如果 abc是以bc為斜邊的直角三角形，求 k的值；(3)當k為何值時， abc是等腰三角形，并求出 abc的周長.評測拓展1、已知方程4x2-12x +m=0的兩根之比是 3: 2,求m的值.2、已

16、知關于x的一元二次方程 x2+kx-1=0.(1)求證：方程有兩個不相等的實數根.(2)設方程的兩個根為xi, x2,且滿足xi+x2=xi x2,求k的值.3、關于x的一元二次方程 kx2-2(k+2)x+k-1=0有兩個不相等的實數根xi, x2.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數k,使1+=1成立？若存在，求 k的值，若不存在，說明理由 x1 x24、關于x的方程kx2+(k+2)x+4=0有兩個不相等的實數根.(1)求k的取值范圍；(2)是否存在k,使兩根之各等于 0?若存在，求k的值，若不存在，說明理由5、已知關于 x 的一元二次方程 mx2-(2m-1)x+m-2=0( m

17、0).(1)求證：此方程有兩個不相等的實數根；(2)這個方程的兩個實數根是x1，x2,且(x1-3)(x2-3)=5m ,求m的值.6、關于 x 的一元二次方程3x2-(a2-3a-18)x+4a=0 的兩個根互為相反數，求a 的值，方程的兩個解 .7、關于x的一元二次方程 2x2+2kx+2k+3=0的兩個實數根為xi, x2,問是否存在實數k,使其成立？若成在，求k 的值，若不存在，說明理由 .8 、關于x 的方程x2+2(m+2)x+m 2+4=0 有兩個實數根，且這兩個根的平方和比兩個實數根的積大40，求m 的值 .9 、關于 x 的一元二次方程ax2-5x+2=0 有兩個同號實數根，試判斷這兩個同號實數根是兩4x2+4(m-1)x+m 2=0 的兩個非零實數根，問這兩個根 m 的取值范圍，并指出兩根的正負；若不能同