1、題3.1圖 3.1 長度為的細導線帶有均勻電荷，其電荷線密度為。（1）計算線電荷平分面上任意點的電位；（2）利用直接積分法計算線電荷平分面上任意點的電場，并用核對。解 （1）建立如題3.1圖所示坐標系。根據電位的積分表達式，線電荷平分面上任意點的電位為（2）根據對稱性，可得兩個對稱線電荷元在點的電場為故長為的線電荷在點的電場為由求，有可見得到的結果相同。3.3 電場中有一半徑為的圓柱體，已知柱內外的電位函數分別為 （1）求圓柱內、外的電場強度； （2）這個圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之。解 （1）由，可得到時， 時， （2）該圓柱體為等位體，所以是由導體制成的，其表面有電荷分布

2、，電荷面密度為3.4 已知的空間中沒有電荷，下列幾個函數中哪些是可能的電位的解?（1）；（2）；（3）（4）。解 在電荷體密度的空間，電位函數應滿足拉普拉斯方程（1）故此函數不是空間中的電位的解；（2）故此函數是空間中可能的電位的解；（3） 故此函數不是空間中的電位的解；（4） 故此函數不是空間中的電位的解。3.5 一半徑為的介質球，介電常數為，其內均勻分布自由電荷，試證明該介質球中心點的電位為 解 根據高斯定理，得時， 即 ， 時， 故 ， 則得中心點的電位為 3.7 無限大導體平板分別置于x=0和x=d處，板間充滿電荷，其體電荷密度為，極板的電位分別為0和，如題3.7圖所示；求兩極板之間的

3、電位和電場強度。解 兩導體板之間的電位滿足泊松方程，故得x題3.7圖解此方程，得在處，故在處，故得故3.8 試證明：同軸線單位長度的靜電儲能。式中為單位長度上的電荷量，為單位長度上的電容。解 由高斯定理可求得圓柱形電容器中的電場強度為內外導體間的電壓為則同軸線單位長度的電容為則得同軸線單位長度的靜電儲能為3.9 有一半徑為、帶電量的導體球，其球心位于介電常數分別為和的兩種介質的分界面上，該分界面為無限大平面。試求：（1）導體球的電容；（2） 總的靜電能量。解 （1）由于電場沿徑向分布，根據邊界條件，在兩種介質的分界面上，故有 。由于、，所以。由高斯定理，得到 即 所以 導體球的電位故導體球的電

4、容（2） 總的靜電能量為3.11 同軸電纜的內導體半徑為，外導體內半徑為；內外導體之間填充兩層損耗介質，其介電常數分別為和，電導率分布為和，兩層介質的分界面為同軸圓柱面，分界面半徑為。當外加電壓為時，試求：（1）介質中的電流密度和電場強度分布；（2）同軸電纜單位長度的電容及漏電阻。解 （1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為，則由，得電流密度 介質中的電場 而故則得到兩種介質中的電流密度和電場強度分別為 （3）同軸電纜單位長度的漏電阻為由靜電比擬，可得同軸電纜單位長度的電容為3.13 在一塊厚度為的導電板上， 由兩個半徑分別為和的圓弧和夾角為的兩半徑割出的一塊扇形體，如題3.13圖所示。求：（1

5、）沿厚度方向的電阻；（2）兩圓弧面之間的電阻；(3) 沿方向的兩電極的電阻。設導電板的電導率為。解 （1）設沿厚度方向的兩電極的電壓為，則有題3.13 圖 故得到沿厚度方向的電阻為 （2）設內外兩圓弧面電極之間的電流為，則故得到兩圓弧面之間的電阻為 （3）設沿方向的兩電極的電壓為，則有由于與無關，故得故得到沿方向的電阻為 3.14 有用圓柱坐標系表示的電流分布，試求矢量磁位和磁感應強度。解 由于電流只有分量，且僅為圓柱坐標的函數，故也只有分量，且僅為的函數，即 （） （）由此可解得式中可由和滿足的邊界條件確定： 時，為有限值，若令此有限值為零，故得 時，、即由此可解得 ，故 （） （） 空間的

6、磁感應強度為 （） （） 3.15無限長直線電流垂直于磁導率分別為和的兩種磁介質的分界面，如題3.15圖所示。試求：（1）兩種磁介質中的磁感應強度和；（2）磁化電流分布。題3.15圖解 （1）由安培環路定理，可得故得 （2）磁介質的磁化強度則磁化電流體密度由看出，在處，具有奇異性，所以在磁介質中處存在磁化線電流。以軸為中心、為半徑作一個圓形回路，由安培環路定理，有故得到在磁介質的表面上，磁化電流面密度為 3.18 長直導線附近有一矩形回路，此回路與導線不共面，如題3.18圖所示。試證明：直導線與矩形回路間的互感是（a）（b）題3.18圖解 設長直導線中的電流為，則其產生的磁場為由題3.18圖可

7、知，與矩形回路交鏈的磁通為式中故直導線與矩形回路間的互感為3. 19 同軸線的內導體是半徑為的圓柱，外導體是半徑為的薄圓柱面，其厚度可忽略不計。內、外導體間填充有磁導率分別為和兩種不同的磁介質，如題3.19圖所示。設同軸線中通過的電流為，試求：（1）同軸線中單位長度所儲存的磁場能量；（2）單位長度的自感。解 同軸線的內外導體之間的磁場沿方向，在兩種磁介質的分界面上，磁場只有法向分量。根據邊界條件可知，兩種磁介質中的磁感應強度，但磁場強度。（1）利用安培環路定律，當時，有題3.19圖所以 在 區域內，有 即故 同軸線中單位長度儲存的磁場能量為 （2）由 ，得到單位長度的自感為 題 3.21圖3.

8、21 一個點電荷與無限大導體平面距離為，如果把它移到無窮遠處，需要作多少功？解 利用鏡像法求解。當點電荷移動到距離導體平面為的點時，其像電荷，位于點處，如題3.21圖所示。像電荷在點處產生的電場為所以將點電荷移到無窮遠處時，電場所作的功為外力所作的功為3.24 一個半徑為的導體球帶有電荷量為，在球體外距離球心為處有一個點電荷。（1）求點電荷與導體球之間的靜電力；（2）證明：當與同號，且成立時，表現為吸引力。 題 3.24圖解 用鏡像法求解，像電荷和的大小和位置分別為， ，如題3.24圖所示。導體球自身所帶的電荷則用位于球心的點電荷等效。故點電荷受到的靜電力為（2）當與同號，且表現為吸引力，即時，則應有由此可得出 3.29 如題3.29圖所示的導體