第六章 機械能翰林匯翰林匯翰林匯翰林匯diliu 機械知識網絡：1 功和功率知識目標一、功的概念1、定義： 力和力的作用點通過位移的乘積2.做功的兩個必要因素：力和物體在力的方向上的位移3、公式：WFScos（為F與s的夾角）說明：恒力做功大小只與F、s、這三個量有關與物體是否還受其他力、物體運動的速度、加速度等其他因素無關，也與物體運動的路徑無關4.單位：焦耳（J) 1 J1Nm.5.物理意義：表示力在空間上的積累效應，是能的轉化的量度6.功是標量，沒有方向，但是有正負正功表示動力做功，負功表示阻力做功，功的正負表示能的轉移方向 當0a900時W0，力對物體做正功； 當=900時W0，力對物體不做功； 當9001800時W0，力對物體做負功或說成物腳體克服這個力做功，這兩種說法是從二個角度來描述同一個問題二、注意的幾個問題F：當F是恒力時，我們可用公式WFscos運算；當F大小不變而方向變化時，分段求力做的功；當F的方向不變而大小變化時，不能用WFscos公式運算（因數學知識的原因），我們只能用動能定理求力做的功S：是力的作用點通過的位移，用物體通過的位移來表述時，在許多問題上學生往往會產生一些錯覺，在后面的練習中會認識到這一點，另外位移S應當弄清是相對哪一個參照物的位移功是過程量：即做功必定對應一個過程（位移），應明確是哪個力在哪一過程中的功什么力做功：在研究問題時，必須弄明白是什么力做的功 【例1】如圖所示，在恒力F的作用下，物體通過的位移為S，則力F做的功為 解析：力F做功W2Fs此情況物體雖然通過位移為S但力的作用點通過的位移為2S，所以力做功為2FS 答案：2Fs【例2】如圖所示，質量為m的物體，靜止在傾角為的粗糙的斜面體上，當兩者一起向右勻速直線運動，位移為S時，斜面對物體m的彈力做的功是多少？物體m所受重力做的功是多少？摩擦力做功多少？斜面對物體m做功多少？解析：物體m受力如圖所示，m有沿斜面下滑的趨勢，f為靜摩擦力，位移S的方向同速度v的方向彈力N對m做的功W1Nscos（900） mgscossin，重力G對m做的功W2Gs cos900=0摩擦力f對m做的功W3=fscos=mgscossin斜面對m的作用力即N和f的合力，方向豎直向上，大小等于mg（m處于平衡狀態），則： wF合scos900mgscos900o答案： mgscossin，0， mgscossin，0擴展與研究：一個力對物體做不做功，是正功還是負功，判斷的方法是：看力與位移之間夾角，或者看力與速度方向之間的夾角：為銳角時，力對物體做正功，在上例中AB的拉力與B球的速度方向就是銳角；為鈍角時，力對物體做負功，上例中AB的拉力與A球的速度方向就是鈍角。為直角時，力對物體不做功，上例中OA與A球的拉力與A球速度方向就是直角。看物體間是否有能量轉化。若有能量轉化，則必定有力做功。此法常用于相連的物體做曲線運動的情況。規律方法 1、功的計算方法1.由公式W=Fs cos求解兩種處理辦法：W等于力F乘以物體在力F方向上的分位移scos,即將物體的位移分解為沿F方向上和垂直F方向上的兩個分位移s1和s2，則F做的功WF s1Fscos.W等于力F在位移s方向上的分力Fcos乘以物體的位移s，即將力F分解為沿s方向和垂直s方向的兩個分力F1和F2，則F做功W=F1sFcoss.注意：這種方法只能用來計算恒力做功（軌跡可以是直線也可以是曲線）2、多個力的總功求解用平行四邊形定則求出合外力，再根據wF合scos計算功注意應是合外力與位移s間的夾角分別求各個外力的功：W1F1 scos1， W2=F2scos2再求各個外力功的代數和【例】物體靜止在光滑水平面上，先對物體施一水平右的恒力Fl，經ts后撤去F1，立即再對它施一水平向左的恒力F2，又經ts后物體回到原出發點，在這一點過程中，Fl、F2分別對物體做的功W1、W2間的關系是（） A. W1 = W2 ；B. W22 W1； C. W23W1；D. W2=5 W1 ；【解析】認為F1和F2使物體在兩段物理過程中經過的位移、時間都相等，故認為W1 = W2而誤選A;而認為后一段過程中多運動了一段距離而誤選B。這都反映了學生缺乏一種物理思想：那就是如何架起兩段物理過程的橋梁？很顯然，這兩段物理過程的聯系點是“第一段過程的末速度正是第二段過程的初速度”。由于本題雖可求出返回時的速度，但如果不注意加速度定義式中V的矢量性，必然會出現錯誤，錯誤得到其結果v20，而誤選A,其原因就是物體的運動有折返。解法1：如圖,A到B作用力為F1，BCD作用力為F2,由牛頓第二定律F=ma，及勻減速直線運動的位移公式S=votat2,勻加速直線運動的速度公式v0=at，設向右為正，AB=S，可得： 一Sv0ta2t2=（a1t）ta2t2，S=0a1t2；a1t2=a1t2a2t2；即F2=3 F1 A 到 B過程F1做正功，BCB/過程F2的功抵消，B/到D過程F2做正功，即W1F1 S, W2=F2S，W23W1,解法2：設F2的方向為正方向，F1作用過程位移為S，F1對物體做正功，由動能定理：F1S=mv12。在F2作用的過程中，F2的位移為一S，與F2同向，物體回到出發點時速度為v2，由動能定理得：F2S=mv22mv12。由牛頓第二定律得v22v1，W23W1拓展：若該物體回到出發點時的動能為32J，則Fl、F2分別對物體做的功W1、W2是多少？由動能定理得：EK= W1W2=32J，W1/W2= F1/F2，W1=8J；W2=24J。3、變力做功問題WFscos是用來計算恒力的功，若是變力，求變力的功只有通過將變力轉化為恒力，再用WFscos計算有兩類不同的力：一類是與勢能相關聯的力，比如重力、彈簧的彈力以及電場力等，它們的功與路徑無關，只與位移有關或者說只與始末點的位置有關；另一類是滑動摩擦力、空氣阻力等，在曲線運動或往返運動時，這類力（大小不變）的功等于力和路程（不是位移）的積根據功和能關系求變力的功如根據勢能的變化求對應的力做的功，根據動能定理求變力做的功，等等根據功率恒定，求變力的功，W=Pt.求出變力F對位移的平均力來計算，當變力F是位移s的線性函數時，平均力作出變力F隨位移，變化的圖象，圖象與位移軸所圍均“面積”即為變力做的功Ha21【例】面積很大的水池，水深為H，水面上浮著一正方體木塊，木塊邊長為a。，密度為水密度的，質量為m,開始時，木塊靜止，如圖所示，現用力F將木塊緩慢地壓到水池底，不計摩擦，求： (1）從木塊剛好完全沒人水中到停止在池底的過程中，池水勢能的改變量 (2)從開始到木塊剛好完全沒入水中的過程中，力F所做的功解析:(1)木塊剛好沒入水中到到達池底的過程中,相當于有相同體積的水從池底到達水面,因木塊的密度為水的冗長度的,故相同體積的水的質量為2m,故池水勢能的改變量為EP=2mg(Ha);(2)因水池面積很大,可忽略因木塊壓入而引起的水深的變化,木塊剛好完全沒入水中時,圖中原來劃線區域的水被排開,相當于這部分水平鋪于水面,這部分水的質量為m,其勢能的改變量為:木塊勢能的改變量為:根據動能定理,力F做的功為:W=E水+E木=mga. (2)又解：從開始到木塊完全沒入水中的過程，力F所做的功為變力功也可畫出Fs圖象，做功在數值上等于Fs圖線與位移S軸所圍圖形的面積的數值，在壓下木塊過程中，力F與位移s成正比，從開始到完全沒入水中，力F的位移為，作出F-s圖象如圖,據圖象可求得做功摩擦力的做功 A、靜摩擦力做功的特點（1）靜摩擦力可以做正功，也可以做負功，還可以不做功。（2）在靜摩擦力做功的過程中，只有機械能的相互轉移（靜摩擦力起著傳遞機械能的作用），而沒有機械能轉化為其他形式的能（3）相互摩擦的系統內，一對靜摩擦力所做功的代數和總為零。 B滑動摩擦力做功的特點如圖所示，上面不光滑的長木板，放在光滑的水平地面上，一小木塊以速度V0從木板的左端滑上木板，當木塊和木板相對靜止時，木板相對地面滑動了S，小木塊相對木板滑動了d，則由動能定理知：滑動摩擦力對木塊所做功為： W木塊=一f（dS）滑動摩擦力對木板所做功為： W木板=fs所以，木塊動能增量為： EK木塊=一f（ds）木板動能增量為： EK木板=fs由得：EK木塊EK木板=一fd式表明木塊和木板組成的系統的機械能的減少量等于滑動摩擦力與木塊相對木板的位移的乘積。這部分減少的能量轉化為內能。故滑動摩擦力做功有以下特點：1）滑動摩擦力可以對物體做正功，也可以對物體做負功，當然也可以不做功。2）一對滑動摩擦力做功的過程中，能量的轉化有兩個方面：一是相互摩擦的物體之間機械能的轉移；二是機械能轉化為內能。轉化為內能的量值等于滑動摩擦力與相對位移的乘積。3）滑動摩擦力、空氣摩擦阻力等，在曲線運動或往返運動時等于力和路程（不是位移）的乘積【例6】如圖所示，半徑為R的孔徑均勻的圓形彎管水平放置，小球在管內以足夠大的初速度v0在水平面內做圓周運動，小球與管壁間的動摩擦因數為，設從開始運動的一周內小球從A到B和從B到A的過程中摩擦力對小球做功分別為W1和W2，在這一周內摩擦力做的總功為W3，則下列關系式正確的是（ ） AW1W2 BW1W2 C W3 0 D W3W1W2解析：求某一力對物體所做的功值有多種思路，對于恒力（大小、方向均不變的力）做功的情況，通常由wFscos求解對于變力（特別是方向發生變化的力）做功的情況，一般由功能轉換關系求解對于后一種思路，一定要正確判斷哪些力做功，在外力做功的過程中，物體（或系統）的能量如何發生變化，變化了多少 小球在水平彎管內運動，滑動摩擦力始終與速度方向相反，做負功，而小球在水平面內的圓周運動的向心力是由外管壁對小球的彈力N提供的，由于轉動半徑R始終不變，摩擦力對小球做負功，小球運動的速率逐漸減小，向心力減小即N減小，而fN，滑動摩擦力f也減小，即由下列關系： N=Fn=mv2/R m，R不變，v減小，則N減小， fN N減小，則f減小 W=fR f減小，則W減小 所以W1W2 W1W2都為負功，因此W3W1W2答案：AD * 求功的思路共有四條:（1）由功的定義恒力做功；（2）由能量關系求解；（3）由功率的定義；（4）由動能定理求解2 功率知識目標一、功率的定義: 功跟完成這些功所用時間的比值叫做功率，它表示物體做功的快慢二、單位：瓦（w），千瓦（kw）；三、標量四、公式:PWtFv1PWt 所求的是這段時間內平均功率2PFv當v為平均值時為平均功率，當v為即時值時為即時功率3PFv應用時，F、v必須同向，否則應分解F或v，使二者同向這里的P=Fv實際上是Fvcos、為F、v夾角4我們處理問題時必須清楚是哪一個力的功率，如一個機械的功率為P，這里指的是牽引力的功率，不可認為是機械所受合外力的功率五、發動機銘牌上的功率，是額定功率，也就是說該機正常運行時的最大輸出功率，該機工作時輸出功率要小于或等于此值規律方法1、功率的計算方法【例1】如圖所示，質量為lkg的物體與平面間摩擦系數=0l（g取10ms2），在2 N水平拉力作用下由靜止開始運動了2s，求這段時間內拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即時功率各為多少？ 解析：a=1ms2sat22m vat2m/s 外力 F做功功率平均值為：p1W/t=Fs/t=2W 2s末即時功率為：P1/=Fv4 W 摩擦力做功功率平均值：P2=fs/t=1W 2 s末即時功率為：P2/=fv= 2 W 重力與支持力N由P=Fvcos知：功率都為0答案：外力F平均功率和即時功率分別為2W、4W；摩擦力平均功率和即時功率分別為1W、2W；重力和支持力功率都為0 點評：（1）明確是什么力做功功率； （2）清楚是平均功率還是即時功率【例2】如圖所示，質量為m的物體沿高為h的光滑斜面滑下到達底端時重力的即時功率為多少？錯解：由機械能守恒定律可知到達底端速度v=，所以此時功率Pmgv=mg：提示：這里沒有注意到mg與v的夾角，應當為P= mgsin點評：做題時注意力跟速度的夾角【例3】一個小孩站在船頭，按應當為圖515兩種情況用同樣大小力拉繩，經過相同的時間t（船未碰撞），小孩所做的功W1、W2及在時間t內小孩拉繩的功率 P1、P2的關系為（ ）AW1W2，P1= P2 BW1W2，P1P2 CW1W2，P1P2 DW1W2，P1= P2提示：兩種情況中拉力對人做的功一樣，第二種情況拉力除對人做功外，又對另一只小船也做了功，所以W2W1由于所用時間一樣，所以P2P1 答案：COAB 點評：應弄清哪一個力對哪一個物體做功，其功率是什么2、兩種功率【例4】長為L的細線一端固定在O點，另一端系一質量為m的小球，開始時，細線被拉直，并處于水平位置，球處在0點等高的A位置，如圖所示，現將球由靜止釋放，它由A運動到最低點B的過程中，重力的瞬時功率變化的情況是（ ）A.一直在增大 B.一直在減小 C.先增大后減小 D.先減小后增大解析:小球在A位置時速度為零，重力的瞬時功率為零，到達B位置時，速度達到最大，方向水平向左，與重力夾角為900，PB0，由于兩個極端位置瞬時功率均為0，故可判斷C正確點評:物體在恒力作用下的變速運動或在變力作用下的運動，力做功的瞬時功率一般都隨時間變化，因此，在求某力在某時的瞬時功率或討論某力做功的瞬時功率隨時間的變化時，都應根據公式P=Ftcos來進行分析和計算 【例5】 跳繩是一種健身運動。設某運動員的質量是50kg，他一分鐘跳繩180次。假定在每次跳躍中，腳與地面的接觸時間占跳躍一次所需時間的2/5，則該運動員跳繩時克服重力做功的平均功率是。（g取10m/s2） 解析：把運動員每次跳躍轉換成質點做豎直上拋運動模型。每次跳躍總時間T60/1801/3s 每次騰空的時間t=（l一）=002s。每次騰空高度 h=g（t/2）2=10（002/2）2005m。每次騰空上升時克服重力做的功 W=mgh=501000525J。 把每次跳躍總時間T內的觸地過程、下落過程舍棄，簡化成在T內就是單一豎直上升克服重力做功的過程，故可解出 PW/T25（1/3）=75 W。3、汽車起動問題分析(1)當以恒定功率運動時，做加速度越來越小的變加速直線運動，a=，當F牽f時，加速度a0，此時的速度為最大速度所以vm=p/f，以后機車做勻速直線運動。(2)欲使汽車從靜止開始做勻加速直線運動，一開始不能用額定功率，功率必須隨著速度增加而增加，使P/v=F恒定；這種運動持續一段時間后汽車又做加速度越來越小的加速運動，最后達到最大速度vm，所以求勻加速直線運動的時間不可用t=vm/a，必須用v=P額/F ，而t=v/a， 由此得：t= P額/Fa【例7】質量為lkg的機械與平面間摩擦力f=2N，其額定功率為12 W，要使它以alms2的加速度做勻加速直線運動，問做這種運動的最長時間為多少？ 錯解：vmP/f6ms， t=vm/a=6s 解析：以上做法錯在何處，我們進行如下的分析：要使alms2，必須Ffma3N要使F=3N速度最大為v=P/F=4ms 所以做勻加速直線運動的時間為t=v/a=4s這里可做這樣的檢驗：當速度大于4ms 時，不妨設為5 ms ；F=P/v=24N，則加速度a=（Ff）/m=04 ms2，顯然不是勻加速直線運動了，所以一旦速度大于4ms 時，由于功率不再增加，加速度則變小，做的是加速度越來越小的加速直線運動，直到加速度為零，之后做勻速運動答案：4 s【例】一輛汽車在平直的公路上以速度v0開始加速行駛，經過一段時間t，前進了距離s，此時恰好達到其最大速度Vm.設此過程中汽車發動機始終以額定功率P工作，汽車所受的阻力恒定為F，則在這段時間里，發動機所做的功為（ ）A、 Fvmt；B、Pt；C、mvm2Fsmv02；D、；解析：汽車在恒定功率作用做變牽引力的加速運動，所以發動機做功為變力做功，根據P=W/t可求得W=Pt，而P=F/v=Fvm，所以W= Fvm t；根據能量守恒：Wmv02=mvm2Fs所以W=mvm2Fsmv02；答案：ABC思考：為何用得到不正確？錯在哪里？【例】質量為m = 4000kg的卡車，額定輸出功率為P=60 kW。當它從靜止出發沿坡路前進時，每行駛100 m，升高5m，所受阻力大小為車重的0.1倍，取g=10 m/s2 .試求：(1)卡車能否保持牽引力為8000 N不變在坡路上行駛？(2)卡車在坡路上行駛時能達到的最大速度為多大？這時牽引力為多大？(3)如果卡車用4000 N牽引力以12m/s的初速度上坡，到達坡頂時，速度為4 m/s,那么卡車在這一段路程中的最大功率為多少？平均功率是多少？分析:汽車能否保持牽引力為8000 N上坡要考慮兩點：第一，牽引力是否大于阻力？第二，汽車若一直加速，其功率是否將超過額定功率，依P=Fv解。本題考查了汽車牽引力恒定時功率的計算。不少同學在得到F f + mgsin后，立即做出結論：汽車可以保持牽引力8000 N不變上坡；而沒有考慮到汽車由于加速，速度不斷增大，其功率不斷增大，如果坡路足夠長，這種運動方式是不允許的。解：分析汽車上坡過程中受力情況如圖所示：牽引力F,重力mg4104N，fkmg4103 N，支持力N，依題意sin5/100。（1）汽車上坡時，若F8000N,而fmgsin410341041/206103 N,即F f +mgsin,汽車將加速上坡，速度不斷增大，其輸出功率P=Fv也不斷增大，長時間后，將超出其額定輸出功率，所以，汽車不能保持牽引力為8000N不變上坡。 (2)汽車上坡時，速度越來越大，必須不斷減小牽引力以保證輸出功率不超過額定輸出功率，當牽引力F= f + mgsin=6103 N時，汽車加速度為零，速度增大到最大，設為vm，則PFv（fmgsin）vm；F= f + mgsin=6103 N（3）若牽引力F=4000N，汽車上坡時，速度不斷減小，所以最初的功率即為最大，P=Fv=400012=48103w。整個過程中平均功率為=32103W 3動能 動能定理知識目標一、動能 如果一個物體能對外做功，我們就說這個物體具有能量物體由于運動而具有的能 Ekmv2，其大小與參照系的選取有關動能是描述物體運動狀態的物理量是相對量。二、動能定理做功可以改變物體的能量所有外力對物體做的總功等于物體動能的增量 W1W2W3mvt2mv021反映了物體動能的變化與引起變化的原因力對物體所做功之間的因果關系可以理解為外力對物體做功等于物體動能增加，物體克服外力做功等于物體動能的減小所以正功是加號，負功是減號。2“增量”是末動能減初動能EK0表示動能增加，EK0表示動能減小3、動能定理適用單個物體，對于物體系統尤其是具有相對運動的物體系統不能盲目的應用動能定理由于此時內力的功也可引起物體動能向其他形式能（比如內能）的轉化在動能定理中總功指各外力對物體做功的代數和這里我們所說的外力包括重力、彈力、摩擦力、電場力等 4各力位移相同時，可求合外力做的功，各力位移不同時，分別求力做功，然后求代數和5力的獨立作用原理使我們有了牛頓第二定律、動量定理、動量守恒定律的分量表達式但動能定理是標量式功和動能都是標量，不能利用矢量法則分解故動能定理無分量式在處理一些問題時，可在某一方向應用動能定理6動能定理的表達式是在物體受恒力作用且做直線運動的情況下得出的但它也適用于變為及物體作曲線運動的情況即動能定理對恒力、變力做功都適用；直線運動與曲線運動也均適用7對動能定理中的位移與速度必須相對同一參照物（通常以地面為參照物）。三、由牛頓第二定律與運動學公式推出動能定理設物體的質量為m，在恒力F作用下，通過位移為S，其速度由v0變為vt， 則：根據牛頓第二定律F=ma 根據運動學公式2as=vt2一v02由得：FS=mvt2mv02 四應用動能定理可解決的問題 恒力作用下的勻變速直線運動，凡不涉及加速度和時間的問題，利用動能定理求解一般比用牛頓定律及運動學公式求解要簡單的多用動能定理還能解決一些在中學應用牛頓定律難以解決的變力做功的問題、曲線運動等問題【例1】如圖所示，質量為m的物體與轉臺之間的摩擦系數為，物體與轉軸間距離為R，物體隨轉臺由靜止開始轉動，當轉速增加到某值時，物體開始在轉臺上滑動，此時轉臺已開始勻速轉動，這過程中摩擦力對物體做功為多少？ 解析：物體開始滑動時，物體與轉臺間已達到最大靜摩擦力，這里認為就是滑動摩擦力mg根據牛頓第二定律mg=mv2/R 由動能定理得：W=mv2 由得：W=mgR，所以在這一過程摩擦力做功為mgR點評：（1）一些變力做功，不能用 W FScos求，應當善于用動能定理（2）應用動能定理解題時，在分析過程的基礎上無須深究物體的運動狀態過程中變化的細節，只須考慮整個過程的功量及過程始末的動能若過程包含了幾個運動性質不同的分過程即可分段考慮，也可整個過程考慮但求功時，有些力不是全過程都作用的，必須根據不同情況分別對待求出總功計算時要把各力的功連同符號（正負）一同代入公式【例2】一質量為m的物體從h高處由靜止落下，然后陷入泥土中深度為h后靜止，求阻力做功為多少？ 提示：整個過程動能增量為零， 則根據動能定理mg（hh）Wf0 所以Wfmg（hh） 答案：mg（hh）規律方法 1、動能定理應用的基本步驟應用動能定理涉及一個過程，兩個狀態所謂一個過程是指做功過程，應明確該過程各外力所做的總功；兩個狀態是指初末兩個狀態的動能動能定理應用的基本步驟是：選取研究對象，明確并分析運動過程分析受力及各力做功的情況，受哪些力？每個力是否做功？在哪段位移過程中做功？正功？負功？做多少功？求出代數和明確過程始末狀態的動能Ek1及EK2列方程 W=EK2一Ek1，必要時注意分析題目的潛在條件，補充方程進行求解LS1【例3】總質量為M的列車沿水平直線軌道勻速前進，其末節車廂質量為m，中途脫節，司機發覺時，機車已行駛了L的距離，于是立即關閉油門，除去牽引力，設阻力與質量成正比，機車的牽引力是恒定的，當列車的兩部分都停止時，它們的距離是多少？解析:此題用動能定理求解比用運動學結合牛頓第二定律求解簡單先畫出草圖如圖所示，標明各部分運動位移（要重視畫草圖）；對車頭，脫鉤前后的全過程，根據動能定理便可解得.FL(Mm)gS1=(Mm)v02對末節車廂，根據動能定理有一mgs2mv02 而S=S1一S2由于原來列車勻速運動，所以F=Mg以上方程聯立解得S=ML/ (M一m）說明:對有關兩個或兩個以上的有相互作用、有相對運動的物體的動力學問題,應用動能定理求解會很方便最基本方法是對每個物體分別應用動能定理列方程，再尋找兩物體在受力、運動上的聯系，列出方程解方程組2、應用動能定理的優越性(1)由于動能定理反映的是物體兩個狀態的動能變化與其合力所做功的量值關系，所以對由初始狀態到終止狀態這一過程中物體運動性質、運動軌跡、做功的力是恒力還是變力等諸多問題不必加以追究，就是說應用動能定理不受這些問題的限制(2)一般來說，用牛頓第二定律和運動學知識求解的問題，用動能定理也可以求解，而且往往用動能定理求解簡捷可是，有些用動能定理能夠求解的問題，應用牛頓第二定律和運動學知識卻無法求解可以說，熟練地應用動能定理求解問題，是一種高層次的思維和方法，應該增強用動能定理解題的主動意識(3)用動能定理可求變力所做的功在某些問題中，由于力F的大小、方向的變化，不能直接用W=Fscos求出變力做功的值，但可由動能定理求解【例4】如圖所示，質量為m的物體用細繩經過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運動，拉力為某個值F時，轉動半徑為R，當拉力逐漸減小到F/4時，物體仍做勻速圓周運動，半徑為2R，則外力對物體所做的功的大小是:解析:設當繩的拉力為F時，小球做勻速圓周運動的線速度為v1，則有F=mv12/R當繩的拉力減為F/4時，小球做勻速圓周運動的線速度為v2,則有F/4=mv22/2R在繩的拉力由F減為F/4的過程中，繩的拉力所做的功為W=mv22mv12=FR所以，繩的拉力所做的功的大小為FR/4,A選項正確說明:用動能定理求變力功是非常有效且普遍適用的方法3、應用動能定理要注意的問題注意1由于動能的大小與參照物的選擇有關，而動能定理是從牛頓運動定律和運動學規律的基礎上推導出來，因此應用動能定理解題時，動能的大小應選取地球或相對地球做勻速直線運動的物體作參照物來確定注意2用動能定理求變力做功，在某些問題中由于力F的大小的變化或方向變化，所以不能直接由W=Fscos求出變力做功的值此時可由其做功的結果動能的變化來求變為F所做的功【例6】如圖所示質量為1kg的小物塊以5m/s的初速度滑上一塊原來靜止在水平面上的木板，木板質量為4kg，木板與水平面間動摩擦因數是0.02，經過2S以后，木塊從木板另一端以1m/s相對于地的速度滑出，g取10ms，求這一過程中木板的位移解析：設木塊與木板間摩擦力大小為f1，木板與地面間摩擦力大小為f2對木塊：一f1t=mvt一mv0，得f1=2 N對木板：（flf2）tMv,f2（m M）g得v05m/s 對木板：（flf2）s=Mv2，得 S=05 m 答案：05 m4 機械能守恒定律知識目標一、機械能1由物體間的相互作用和物體間的相對位置決定的能叫做勢能如重力勢能、彈性勢能、分子勢能、電勢能等（1）物體由于受到重力作用而具有重力勢能，表達式為 EP=一mgh式中h是物體到零重力勢能面的高度（2）重力勢能是物體與地球系統共有的只有在零勢能參考面確定之后，物體的重力勢能才有確定的值，若物體在零勢能參考面上方高 h處其重力勢能為 EP=一mgh，若物體在零勢能參考面下方低h處其重力勢能為 EP=一mgh，“一”不表示方向，表示比零勢能參考面的勢能小，顯然零勢能參考面選擇的不同，同一物體在同一位置的重力勢能的多少也就不同，所以重力勢能是相對的通常在不明確指出的情況下，都是以地面為零勢面的但應特別注意的是，當物體的位置改變時，其重力勢能的變化量與零勢面如何選取無關在實際問題中我們更會關心的是重力勢能的變化量【例1】如圖所示，桌面高地面高H，小球自離桌面高h處由靜止落下，不計空氣阻力，則小球觸地的瞬間機械能為（設桌面為零勢面）（ ） Amgh； BmgH；Cmg（Hh）； Dmg（Hh）解析：這一過程機械能守恒，以桌面為零勢面，E初=mgh，所以著地時也為mgh，有的學生對此接受不了，可以這樣想，E初=mgh ，末為 E末=mv2mgH，而mv2=mg（Hh）由此兩式可得：E末=mgh 答案：A（3）彈性勢能，發生彈性形變的物體而具有的勢能高中階段不要求具體利用公式計算彈性勢能，但往往要根據功能關系利用其他形式能量的變化來求得彈性勢能的變化或某位置的彈性勢能2重力做功與重力勢能的關系：重力做功等于重力勢能的減少量WG=EP減=EP初一EP末，克服重力做功等于重力勢能的增加量W克=EP增=EP末EP初 特別應注意：重力做功只能使重力勢能與動能相互轉化，不能引起物體機械能的變化3、動能和勢能（重力勢能與彈性勢能）統稱為機械能二、機械能守恒定律1、內容：在只有重力（和彈簧的彈力）做功的情況下，物體的動能和勢能發生相互轉化，但機械能的總量保持不變2.機械能守恒的條件（1)對某一物體，若只有重力（或彈簧彈力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代數和為零），則該物體機械能守恒(2）對某一系統，物體間只有動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉化，系統和外界沒有發生機械能的傳遞，機械能也沒有轉變為其他形式的能，則系統機械能守恒3表達形式：EK1Epl=Ek2EP2（1）我們解題時往往選擇的是與題目所述條件或所求結果相關的某兩個狀態或某幾個狀態建立方程式此表達式中EP是相對的建立方程時必須選擇合適的零勢能參考面且每一狀態的EP都應是對同一參考面而言的（2）其他表達方式，EP=一EK，系統重力勢能的增量等于系統動能的減少量（3）Ea=一Eb，將系統分為a、b兩部分，a部分機械能的增量等于另一部分b的機械能的減少量， 三、判斷機械能是否守恒 首先應特別提醒注意的是，機械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飛來的子彈打入靜止在光滑水平面上的木塊內的過程中，合外力的功及合外力都是零，但系統在克服內部阻力做功，將部分機械能轉化為內能，因而機械能的總量在減少（1)用做功來判斷：分析物體或物體受力情況（包括內力和外力），明確各力做功的情況，若對物體或系統只有重力或彈力做功，沒有其他力做功或其他力做功的代數和為零，則機械能守恒；(2）用能量轉化來判定：若物體系中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化，則物體系機械能守恒3當除了系統內重力彈力以外的力做了功，但做功的代數和為零，但系統的機械能不一定守恒如圖552所示，物體m在速度為v0時受到外力F作用，經時間t速度變為vt（vtv0）撤去外力，由于摩擦力的作用經時間t/速度大小又為v0，這一過程中外力做功代數和為零，但是物體m的機械能不守恒。【例2】對一個系統，下面說法正確的是（ ）A受到合外力為零時，系統機械能守恒B系統受到除重力彈力以外的力做功為零時，系統的機械能守恒C只有系統內部的重力彈力做功時，系統的機械能守恒D除重力彈力以外的力只要對系統作用，則系統的機械能就不守恒解析：系統受到合外力為零時，系統動量守恒，但機械能就不一定守恒，C對【例3】如圖所示，在光滑的水平面上放一質量為M964kg的木箱，用細繩跨過定滑輪O與一質量為m=10kg的重物相連，已知木箱到定滑輪的繩長AO8m，OA繩與水平方向成300角，重物距地面高度h=3m，開始時讓它們處于靜止狀態不計繩的質量及一切摩擦，g取10 ms2，將重物無初速度釋放，當它落地的瞬間木箱的速度多大？解析：本題中重物m和水箱M動能均來源于重物的重力勢能，只是m和M的速率不等根據題意，m，M和地球組成的系統機械能守恒，選取水平面為零勢能面，有mghmvMv從題中可知，O距M之間的距離為 h/Oasin3004 m當m落地瞬間，OA繩與水平方向夾角為，則cos=4/5 而m的速度vm等于vM沿繩的分速度，如圖555所示，則有 vmvMcos 所以，由式一得vM=m/s 答案：m/ s 五.機械能守恒定律與動能定理的區別 機械能守恒定律反映的是物體初、末狀態的機械能間關系，且守恒是有條件的，而動能定理揭示的是物體動能的變化跟引起這種變化的合外力的功間關系，既關心初末狀態的動能，也必須認真分析對應這兩個狀態間經歷的過程中做功情況規律方法 1、單個物體在變速運動中的機械能守恒問題【例6】從某高處平拋一個物體，物體落地時速度方向與水平方向夾角為，取地面處重力勢能為零，則物體落下高度與水平位移之比為 拋出時動能與重力勢能之比為 解析：設平拋運動的時間為 t，則落地時， gt=v0tan即 gt2v0ttan 所以 2hstan所以h/s=tan/2 由于落地的速度v=v0/cos 又因為m v02十mgh=mv2 所以mgh=m v02/cos2mv02 所以mv02/mgh=cot2 【例7】如圖所示，一個光滑的水平軌道AB與光滑的圓軌道BCD連接，其中圖軌道在豎直平面內，半徑為R，B為最低點，D為最高點一個質量為m的小球以初速度v0沿AB運動，剛好能通過最高點D，則（ ） A小球質量越大，所需初速度v0越大 B圓軌道半徑越大，所需初速度v0越大 C初速度v0與小球質量m、軌道半徑R無關 D。小球質量m和軌道半徑R同時增大，有可能不用增大初速度v0解析：球通過最高點的最小速度為v，有mg=mv2/R，v=這是剛好通過最高點的條件，根據機械能守恒，在最低點的速度v0應滿足 m v02=mg2Rmv2，v0= 答案：B2、系統機械能守恒問題【例8】如圖,斜面與半徑R=2.5m的豎直半圓組成光滑軌道,一個小球從A點斜向上拋,并在半圓最高點D水平進入軌道,然后沿斜面向上,最大高度達到h=10m,求小球拋出的速度和位置.解析:小球從A到D的逆運動為平拋運動,由機械能守恒,平拋初速度vD為mghmg2R=mvD2;所以A到D的水平距離為由機械能守恒得A點的速度v0為mgh=mv02;由于平拋運動的水平速度不變,則VD=V0cos,所以,仰角為【例9】如圖所示，總長為L的光滑勻質的鐵鏈，跨過一光滑的輕質小定滑輪，開始時底端相齊，當略有擾動時，某一端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，其速度多大？解析：由題目的敘述可知鐵鏈的重心位置變化過程只有重力做功，或“光滑”提示我們無機械能與其他形式的能轉化，則機械能守恒，這個題目我們用機械能守恒定律的總量不變表達式E2=El，和增量表達式EP=一EK分別給出解答，以利于同學分析比較掌握其各自的特點（1）設鐵鏈單位長度的質量為P，且選鐵鏈的初態的重心位置所在水平面為參考面，則初態E1=0滑離滑輪時為終態，重心離參考面距離L/4，EP/=PLgL/4Ek2=Lv2即終態E2=PLgL/4PLv2由機械能守恒定律得E2= E1有 PLgL/4PLv2=0，所以v=（2）利用EP=EK，求解:初態至終態重力勢能減少，重心下降L/4，重力勢能減少EP= PLgL/4，動能增量EK=PLv2，所以v= 點評（1）對繩索、鏈條這類的物體，由于在考查過程中常發生形變，其重心位置對物體來說，不是固定不變的，能否確定其重心的位里則是解決這類問題的關鍵，順便指出的是均勻質量分布的規則物體常以重心的位置來確定物體的重力勢能此題初態的重心位置不在滑輪的頂點，由于滑輪很小，可視作對折來求重心，也可分段考慮求出各部分的重力勢能后求出代數和作為總的重力勢能至于零勢能參考面可任意選取，但以系統初末態重力勢能便于表示為宜 （2）此題也可以用等效法求解，鐵鏈脫離滑輪時重力勢能減少，等效為一半鐵鏈至另一半下端時重力勢能的減少，然后利用EP=EK求解。【例10】一根細繩不可伸長，通過定滑輪，兩端系有質量為M和m的小球，且M=2m，開始時用手握住M，使M與離地高度均為h并處于靜止狀態求：（1）當M由靜止釋放下落h高時的速度（2）設M落地即靜止運動，求m離地的最大高度。(h遠小于半繩長，繩與滑輪質量及各種摩擦均不計)解：在M落地之前，系統機械能守恒(Mm)gh=(M+m)v2,M落地之后，m做豎直上拋運動，機械能守恒有： mv2=mgh/;h/=h/3離地的最大高度為：H=2h+h/=7h/35 機械能守恒定律的應用知識目標一、應用機械能守恒定律解題的基本步驟 （1）根據題意選取研究對象（物體或系統） （2）明確研究對象的運動過程，分析對象在過程中的受力情況，弄清各力做功的情況，判斷機械能是否守恒 （3）恰當地選取零勢面，確定研究對象在過程中的始態和末態的機械能 （4）根據機械能守恒定律的不同表達式列式方程，若選用了增（減）量表達式，（3）就應成為確定過程中，動能、勢能在過程中的增減量或各部分機械能在過程中的增減量來列方程進行求解規律方法 1、機械能守恒定律與圓周運動結合物體在繩、桿、軌道約束的情況下在豎直平面內做圓周運動，往往伴隨著動能，勢能的相互轉化，若機械能守恒，即可根據機械能守恒去求解物體在運動中經過某位里時的速度，再結合圓周運動、牛頓定律可求解相關的運動學、動力學的量【例2】如圖1所示一根長L的細繩，固定在O點，繩另一端系一條質量為m的小球起初將小球拉至水平于A點求（1）小球從A點由靜止釋放后到達最低點C時的速度（2）小球擺到最低點時細繩的拉力。解：（1）由機械能守恒有：mgl=mvC2;(2) 在最低點，由向心力公式有Tmg=mv2/l;T=3mg;【例3】在上例中，將小球自水平向下移，使細繩與水平方向成=300角，如圖2所示求小球從A點由靜止釋放后到達最低點C時細繩的拉力 解：【例4】如圖，長為L的細繩一端拴一質量為m的小球，另一端固定在O點，在O點的正下方某處P點有一釘子，把線拉成水平，由靜止釋放小球，使線碰到釘子后恰能在豎直面內做圓周運動，求P點的位置？解析： 設繩碰到釘子后恰能繞P點做圓周運動的半徑為r，運動到最高點的速率為V，由機械能守恒定律得：在最高點，由向心力公式有：, 【例6】如圖所示，在一根長為L的輕桿上的B點和末端C各固定一個質量為m的小球，桿可以在豎直面上繞定點A轉動，BC=L/3,現將桿拉到水平位置從靜止釋放，求末端小球C擺到最低點時速度的大小和這一過程中BC端對C球所做的功。（桿的質量和摩擦不計）解析：B、C兩球系統在下擺的過程中只有重力做功，系統機械能守恒。; 由于B、C