第一章習題解答 pdf 第二章習題解答 pdf 第三章習題解答 pdf 第四章習題解答 pdf 第五章習題解答 pdf 第六章習題解答 pdf 第七章習題解答 pdf 第八章習題解答 pdf 第九章習題解答 pdf 第十章習題解答 pdf 第十一章習題解答 pdf 第一章第一章 原子的基本狀況原子的基本狀況 1 11 1 若盧瑟福散射用的 粒子是放射性物質鐳放射的 其動能為 電子伏特 散射物質是原子序數 C 6 7 68 10 79Z 的金箔 試問散射角150 所對應的瞄 準距離b多大 解 根據盧瑟福散射公式 2 002 22 44 2 KM v c tgbb Z eZ e 得到 2192 150 91 22 619 0 79 1 6010 9103 9710 47 68 101 610 Ze ctgctg b K 5 m 式中 2 1 2 KMv 是 粒子的功能 1 21 2 已知散射角為 的 粒子與散射核的最短距離為 2 2 02 121 1 4s m Z e r M v in 試問上題 粒子與散射的金原 子核之間的最短距離多大 m r 解 將 1 1 題中各量代入的表達式 得 m r 2 min 2 02 121 1 4s Ze r Mv in 192 9 619 279 1 6010 1 910 1 27 68101 6010sin 75 14 3 0110 m 1 31 3 若用動能為 1 兆電子伏特的質子射向金箔 問質子與金箔 問質子與金 箔原子核可能達到的最小距離多大 又問如果用同樣能量的氘核 氘核帶一個 電荷而質量是質子的兩倍 是氫的一種同位素的原子核 代替質子 其與金 箔原子核的最小距離多大 e 解 當入射粒子與靶核對心碰撞時 散射角為180 當入射粒子的動能全部 轉化為兩粒子間的勢能時 兩粒子間的作用距離最小 2 2 0m in 1 24 p Z e M vK r 故有 2 m in 0 4 p Z e r K 192 91 619 79 1 6010 9101 1410 101 6010 3 m 由上式看出 與入射粒子的質量無關 所以當用相同能量和相同電荷的氘核 代替質子時 其與靶核作用的最小距離仍為 min r 13 1 14 10 m 1 4 1 4 釙放射的一種 粒子的速度為米 秒 正面垂直入射于厚度為 米 密度為的金箔 試求所有散射在 7 1 597 10 7 10 4 1 932 10 3 公斤 米90 的 粒子占 全部入射粒子數的百分比 已知金的原子量為197 解 單位體積中的金原子數 0 AuAu NmNA 由散射公式可 得百分比為 1 8 0 2 22 0 2 4 09 0 1 4 sin 2 A u Nd nZ ed t nAM v 2 221 8 0 0 2 9 0 3 0 c o s 12 2 4 sin 2 A u NZ e td AM v 等式右邊的積分 180180 9090 33 cossin 22 21 sinsin 22 d Id 帶入相關數值 233 0 79 6 02 10 197 10 au ZNA 74 1 597 10 1 932 10 10vt 7 2 22 0 2 0 12 4 Au N Ze t AMv 64 0 0 8 56108 5610 即散射角大于90 以上的粒子數大約占全部粒子數的 4 00 8 5 10 1 5 1 5 粒子散射實驗的數據在散射角很小15 時與理論值差得較遠 時 什么原因 答 粒子散射的理論值是在 一次散射 的假定下得出的 而 粒子通過 金屬箔 經過好多原子核的附近 實際上是多次散射 因為一張合用的金屬箔也 有幾百至幾千個原子層厚 但由于原子核很小 核間空間很大 因此 粒子通過 時 多次很接近原子核的機會并不大 只有瞄準距小時 散射角才大 實際觀察 到較大的 角 可以設想是一次大角散射和多次小角散射合成的 但多次小角散 射左右上下各方向都有可能 合并起來會抵消一部分 因此有大角散射時 小角 散射可以不計 一次散射理論是合理的 至于實際觀察到的較小的散射角 那是 多次小角散射合成的結果 既然都是小角散射 哪一個也不能忽略 一次散射的 理論就不適用 所以 粒子散射的實驗數據在散射角很小時與理論值差得較遠 1 6 1 6 已知 粒子質量比電子質量大 7300 倍 試利用中性粒子碰撞來證明 粒子散射 受電子的影響是微不足道的 證明 設碰撞前 后 粒子與電子的速度分別為 0 e vvv vM 根據動量守 恒定律和能量守恒定律得 e vmv M 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 e mvMvMv 2 由 1 得 7300 1 ee vv M m vv 3 由 2 得 2 2 2 e v M m vv 4 將 3 式代入 4 式 得 2 2 2 7300 vvvv 整理 得 0cos73002 17300 17300 2 2 vvvv 0vv 即 粒子散射 受電子的影響是微不足道的 60 t t 20 60 圖 1 1 1 71 7 能量為 3 5 兆電子伏特的細 粒子束射到單位面積上質量為 的銀箔上 22 1005 1米公斤 粒子與銀箔表面成角 在離 L 0 12 米處放 一窗口面積為的計數器 測得散射進此窗口的 60 25 100 6米 粒子是全部入射 粒子的百萬分之 29 若已知銀的原子量為 107 9 試 解 設靶厚度為 t 求銀的核電荷數 Z 非垂直入射時引起 粒子在 而是靶物質中通過的距離不再是靶物質的厚度 t sin60tt 如圖 1 1 所示 因為散射到 與 d 之間 d立體角內的粒子 數 dn 的比為 n 與總入射粒子數 d n N td n 1 而 d為 2 sin 4 1 4 2 2 2 2 0 d Mv ze d 2 把 2 式代入 1 式 得 2 sin 4 1 4 2 2 2 dzedn 2 0 Mv Nt n 3 式中立體角元 5 2 0 2 6 0 10 sin602 0 12 dds Lttt 0 3 20 N 為原子密度 0 NN Ad 2422 0 sin 4 dn 1 2 ZeMv d Nnt 將各量代入上式 得 Z 47 而是均勻分布在 半徑約為 1 8 1 8 設想鉛 Z 82 原子的正電荷不是集中在很小的核上 10 10 米的球形原子內 如果有能量為 6 10電子伏特的 粒子射向這樣一 個 原子 試通過計算論證這樣的 粒子不可能被具有上述設想結構的原子產 0 湯姆遜模型是不能成立的 原子中電子的影響可以忽略 解 利用高斯定理 對于電荷均勻分布的球體 半徑 R 生散射角大于 電場為 90的散射 這個結論與盧瑟福實驗結果差的很遠 這說明原子的 2 0 3 0 1 4 1 4 Ze rR r E Zer rR R 當時 由盧瑟福公式 bR 2 0 2 1 4 22 Eb ctgEMv Ze 得 這種情況只能得很小的散射角 當時 庫倫斥力隨 r 減小而線性減小 這時散射角公式中核電荷 Ze 要 用有荷代 8 bR 1 時光子頻率即為電子繞第 n 玻爾軌道轉動的頻率 當 n 1 時光子頻率即為電子繞第 n 玻爾軌道轉動的頻率 證明 在氫原子中電子從 n 1 軌道躍遷到 n 軌道所發光子的波數為 1 11 1 22 nn Rv n n 頻率為 Rc nn n nn Rc c vn 2222 1 12 1 11 當 n 1 時 有 所以在 n 1 時 氫原 子中電子從 n 1 軌道躍遷到 n 軌道所發光子的頻率為 3422 2 2 1 12 nnnnnn 3 2nRcvn 設電子在第 n 軌道上的轉動頻率為 則 n f 24 233 0 4 2 4 n vm f rn e h 24 23 0 2 2 4 vm R rc e h 因此 在 n 1 時 有 在 n 很大時 玻爾理論過渡到經典理論 這就 是對應原理 nn fv 2 9 原子序數 Z 3 其光譜的主線系可用下式表示 2 9 原子序數 Z 3 其光譜的主線系可用下式表示 Li 22 0401 0 5951 01 n RR v 已知鋰原子電離成離子需要 203 44 電子伏特的 功 問如把離子電離成離子 需要多少電子伏特的功 已知鋰原子電離成離子需要 203 44 電子伏特的 功 問如把離子電離成離子 需要多少電子伏特的功 Li Li Li 解 第一步 計算原子電離成LiLi 離子所需要的能量 1 22 5 35 1 0 5951 1 0 5951 R hcRhcRhc E eV 第二步 時所需要的能量 此時是類氫離子 可用氫原子的能 量公式 電離能為 LiLi Li 3 E 2 2 3 2 9 13 6122 4 1 Z Rhc EZ R hc eV 第三步 設的電離能為 需要的總能量是 E 203 44eV 所以有 LiLi 2 E LiLi 213 75 6EEEE eV 2 10 具有磁矩的原子 在橫向均勻磁場和橫向非均勻磁場中運動時有什么不 同 2 10 具有磁矩的原子 在橫向均勻磁場和橫向非均勻磁場中運動時有什么不 同 解 設原子的磁矩為 磁場沿 Z 方向 則原子磁矩在磁場方向的分量記為 Z 于是具有磁矩的原子在磁場中所受的力為 Z B F Z 其中 Z B 是磁 場沿 Z 方向的梯度 對均勻磁場 0 Z B 原子在磁場中不受力 原子受力矩 作用繞磁場方向做拉摩進動 而原子的運動路徑不改變 對于非均磁場 0 Z B 原子在磁場中不僅受到力矩作用 還受到力的作用 原子束的路徑要發生改變 2 11 史特恩 蓋拉赫實驗中 處于基態的窄銀原子束通過不均勻橫向磁場 磁 場的梯度為 2 11 史特恩 蓋拉赫實驗中 處于基態的窄銀原子束通過不均勻橫向磁場 磁 場的梯度為 3 10 Z B 特斯拉 米 磁極縱向范圍 0 04 米 見圖 2 2 從磁極 到屏距離 0 10 米 原子的速度米 秒 在屏上兩束分開的距離 米 試確定原子磁矩在磁場方向上投影 特斯拉 米 磁極縱向范圍 0 04 米 見圖 2 2 從磁極 到屏距離 0 10 米 原子的速度米 秒 在屏上兩束分開的距離 米 試確定原子磁矩在磁場方向上投影 1 L 2 L 2 105 v 002 0 d 的大小 設磁場邊緣的影響 可忽略不計 的大小 設磁場邊緣的影響 可忽略不計 解 銀原子在非均勻磁場中受到垂直于入射方向的磁場力作用 其軌道為拋 物線 在區域粒子不受力作慣性運動 2 L 原子通過 L1 和L2 的時間 t1 L1 v t2 L2 v 通過L1段時原子受力 fz z B z 方向因 z方向的不同而不同 或者向 上或者向下 Z 方向原子的加速度 az fz m 剛脫離磁場時原子Z方向的瞬時速度 vz az t1 原子在 Z 方向的偏轉位移 d 2 1 2 az t1 2 v z t2 代入數值計算得 z 0 93 10 23 J T 1 007 B 相當于一個玻爾磁子 2 12 觀察高真空玻璃管中由激發原子束所發光譜線的強度沿原子射線束的減 弱情況 可以測定各激發態的平均壽命 若已知原子束中原子速度 在沿粒子束方向上相距 1 5 毫米其共振光譜線強度減少到 1 3 32 試計算這種 原子在共振激發態的平均壽命 2 12 觀察高真空玻璃管中由激發原子束所發光譜線的強度沿原子射線束的減 弱情況 可以測定各激發態的平均壽命 若已知原子束中原子速度 在沿粒子束方向上相距 1 5 毫米其共振光譜線強度減少到 1 3 32 試計算這種 原子在共振激發態的平均壽命 3 10v m s 解 光譜線的強度與處于激發態的原子數和單位時間內的躍遷幾率成正比 設發射共振譜線的躍遷幾率為 則有 21 A 20 2 2021 221 0 1 N N NA NA I I 適當選取單位 使32 3 1 20 2 0 1 N N I I 并注意到 則有 220 t NN etS 而 v 2 20 1 3 32 t N e N 由此求得 3 3 220 6 1 5 10 ln ln3 3210ln3 32 1 25 10 ts NNv s 第三章 量子力學初步 第三章 量子力學初步 3 1 波長為的 X 光光子的動量和能量各為多少 3 1 波長為的 X 光光子的動量和能量各為多少 A1 解 根據德布羅意關系式 得 動量為 34 24 10 6 63 10 6 626 10 10 h p kgm s 能量為 hchvE 3481015 6 63 103 10 101 988 10 J 3 2 經過 10000 伏特電勢差加速的電子束的德布羅意波長3 2 經過 10000 伏特電勢差加速的電子束的德布羅意波長 用上述電 壓加速的質子束的德布羅意波長是多少 用上述電 壓加速的質子束的德布羅意波長是多少 解 德布羅意波長與加速電壓之間有關系 meVh2 對于電子 可得 3119 9 11 101 60 10me kg C AAA V 1225 0 10000 25 1225 12 對于質子 得 27 1 67 10m kg A 3 1927 34 10862 2 100001060 11067 12 10626 6 3 3 電子被加速后的速度很大 必須考慮相對論修正 因而原來3 3 電子被加速后的速度很大 必須考慮相對論修正 因而原來 A V 25 12 的 電子德布羅意波長與加速電壓的關系式應改為 的 電子德布羅意波長與加速電壓的關系式應改為 AV V 10489 01 25 12 6 其中 V 是以伏特為單位的電子加速電壓 試證明之 其中 V 是以伏特為單位的電子加速電壓 試證明之 證明 德布羅意波長 ph 對高速粒子 考慮相對論效應 22222 00 eVm cpcm c 22 0 0 2 2 2 2 2 ceVeVmp eVm c eV p 因此有 2 0 0 2 1 1 2 cm eVeVm h ph 等式右邊根式中一項的值很小的 將上式的根式作泰勒展開 取前兩 項 得 2 0 2 cmeV 10489 0 1 2 4 1 2 6 0 2 0 0 V eVm h cm eV eVm h 6 12 25 1 0 489 10 V A V 隨著加速電壓逐漸升高 電子的速度增大 由于相對論效應引起的德布羅意波長 變短 3 4 試證明氫原子穩定軌道上正好能容納下整數個電子的德布羅意波波長 上 述結果不但適用于圓軌道 同樣適用于橢圓軌道 試證明之 3 4 試證明氫原子穩定軌道上正好能容納下整數個電子的德布羅意波波長 上 述結果不但適用于圓軌道 同樣適用于橢圓軌道 試證明之 證明 軌道量子化條件是 nhpdq 1 對圓軌道 mvrmrppr 2 0 所以有 2pdmvrnh 2 1 2 h Srnnn mv 3 所以 氫原子穩定軌道上正好能容納下整數個電子的德布羅意波長 2 由于速率不再是常數 在軌道上各點的德氏波長也不一樣 橢圓軌道的量 子化條件是 hndrp hndp rr 其中 2 r pmr pmr 兩式相加得 r p drp dnh r nnn 而 2 dmrdrrmdpdrpr 22 drdhds mrdtmrdtmv dtmvdsdsh dtdtr ds n 因此 橢圓軌道也正好包含整數個德布羅意波波長 3 5 帶電粒子在威耳孫云室 一種徑跡探測器 中的軌跡是一串小霧滴 霧滴 德線度約為 1 微米 當觀察能量為 1000 電子伏特的電子徑跡時其動量與精典力 學動量的相對偏差不小于多少 3 5 帶電粒子在威耳孫云室 一種徑跡探測器 中的軌跡是一串小霧滴 霧滴 德線度約為 1 微米 當觀察能量為 1000 電子伏特的電子徑跡時其動量與精典力 學動量的相對偏差不小于多少 解 由題知 電子動能 E 1000eV m 動量相對偏差為 由測 6 10 xpp 不準關系 2 h xp 2 h p x 經典力學的動量為 2pm E 5 3 1 10 22 ph pxmE 電子橫向動量的不準確量與經典力學動量之比如此之小 足見電子的徑跡與直線 不會有明顯區別 3 6 證明自由運動的粒子 勢能3 6 證明自由運動的粒子 勢能0 V 的能量可以有連續的值 的能量可以有連續的值 證明 自由粒子的德氏波函數為 i p rE t A e 1 自由粒子的哈密頓量是 2 2 2 H m 2 自由粒子的能量的本征方程為 EH 3 把 1 式和 2 式代入 3 式 得 2 2 2 i p rEt h AeE m 即 2222 2 222 2 xyz i p x p yp z Et h ddd AeE mdxdydz 2 2 p E m 2 2 p E m 自由粒子的動量 p 可以取任意連續值 所以它的能量 E 也可以有任意的連續值 3 7 粒子位于一維對稱勢場中 勢場形式入圖 3 1 即 3 7 粒子位于一維對稱勢場中 勢場形式入圖 3 1 即 0 0 0 0 VLx VVLxx 1 試推導粒子在情況下其總能量 E 滿足的關系式 1 試推導粒子在情況下其總能量 E 滿足的關系式 0 VE 122011 vvvvvv 試求其頻率 間隔比值 試求其頻率 間隔比值 1 2 v v 解 Ca原子處基態時兩個價電子的組態為 Ca的銳線系是電子由激發的 能級向能 級躍遷產生的光譜線 與氦的情況類似 對組 態可以形成的原子態 也就是說對 L 1 可以有 4 個能級 電子由諸激發能級上躍遷到 能級上則產生銳線系三重線 ss44sp4 ps44 0 1 2 3 1 1 PP和 S 3 0 1 2 3P 根據朗德間隔定則 在多重結構中能級的二相鄰間隔 122011 vvvvvv 同有關的 J 值中較大的那一個成正比 因此 所以1 2 21 vv 2 1 1 2 v v 3333 210 PPP 1 S 5 8 原子基態的兩個價電子都在軌道 若其中一個價電子被激發到軌 道 而其價電子間相互作用屬于 5 8 原子基態的兩個價電子都在軌道 若其中一個價電子被激發到軌 道 而其價電子間相互作用屬于 Pbp6s7 jj耦合 問此時原子可能有哪些狀態 耦合 問此時原子可能有哪些狀態 Pb 解 激發后鉛原子的電子組態是 sp76 1212 11 1 0 22 llss 12 3 11 2 22 jj 1212 3111 2 110 2222 jjJjjJ 因此 激發后原子可能有四種狀態 Pb 0112 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 5 9 楊福家教材 244 頁習題 5 8 Be 原子基態電子組態是 2s2s 若其中一 個電子被激發到 3p 態 按 LS 耦合可形成哪些原子態 從這些原子態向低能級 躍遷時 可以產生哪些光譜線 畫出相應的能級躍遷圖 5 9 楊福家教材 244 頁習題 5 8 Be 原子基態電子組態是 2s2s 若其中一 個電子被激發到 3p 態 按 LS 耦合可形成哪些原子態 從這些原子態向低能級 躍遷時 可以產生哪些光譜線 畫出相應的能級躍遷圖 解 容易導出LS耦合下 2s3p電子組態可生成的原子態有 1P1 3P 2 1 0 從這些原子態向下躍遷時 除向基態 2s2s 躍遷外 還可能會向 2s2p 2s3s 躍 遷 2s2s的原子態有 1S 0 2s2p的原子態有 1P1 3P 2 1 0 2s3s的原子態有 1S 0 3S 1 根據躍遷選擇定則標出躍遷如下 2s3s 3S 1 2s3p 1P 1 2s3p 3P 2 3P 1 3P 0 2s3s 1S 0 2s2p 1P 1 2s2s 1S 0 2s2p 3P 2 3P 1 3P 0 第六章第六章 磁場中的原子磁場中的原子 6 1 已知釩原子的基態是 1 問釩原子束在不均勻橫向磁場中將分裂為 幾束 2 求基態釩原子的有效磁矩 6 1 已知釩原子的基態是 1 問釩原子束在不均勻橫向磁場中將分裂為 幾束 2 求基態釩原子的有效磁矩 2 3 4F 解 1 原子在不均勻的磁場中將受到力的作用 力的大小與原子磁矩 因 而于角動量 在磁場方向的分量成正比 釩原子基態之角動量量子數 角動量在磁場方向的分量的個數為 2 3 4F 2 3 J41 2 3 212 J 因此 基態釩 原子束在不均勻橫向磁場中將分裂為 4 束 2 JJ P m e g 2 hhJJPJ 2 15 1 按 LS 耦合 5 2 15 6 1 2 1 1 1 1 JJ SSLLJJ g BBJ h m e 7746 0 5 15 2 15 25 2 6 2 已知原子躍遷的光譜線在磁場中分裂為三條光譜線 其間距 試計算所用磁場的感應強度 6 2 已知原子躍遷的光譜線在磁場中分裂為三條光譜線 其間距 試計算所用磁場的感應強度 He 0 1 1 1 SP 厘米 467 0 v 解 裂開后的譜線同原譜線的波數之差為 2211 11 4 Be vM gM g mc 對應原子態 1 1P 1 0 1 2 M1 1 0 JLS 2 1g 對應原子態 0 1S 1 0M 0 0 0SLJ 2 1g mcBev 4 1 0 1 又因譜線間距相等 40 467 vBemc cm 4 0 4671 0 mc B e T 6 3 漫線系的一條譜線在弱磁場中將分裂成多少條譜線 試 作出相應的能級躍遷圖 6 3 漫線系的一條譜線在弱磁場中將分裂成多少條譜線 試 作出相應的能級躍遷圖 Li 23 2 1 2 2 3 2 PD 解 能級 2 3 2 3 D 13 2 22 LSJ 5 4 1 2 1 1 1 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 jj sslljj g M 2 1 2 2 P 能級 11 2 22 LSJ 1 112 223 Mg Lv 30 26 30 22 30 2 30 2 30 22 30 26 所以 在弱磁場中由躍遷產生的光譜線分裂成六條 譜線之間間 隔不等 2 1 2 2 3 2 23PD 6 4 在平行于磁場方向觀察到某光譜線的正常塞曼效應分裂的兩譜線間波長差 是 所用的磁場的 B 是 2 5 特斯拉 試計算該譜線原來的波長 6 4 在平行于磁場方向觀察到某光譜線的正常塞曼效應分裂的兩譜線間波長差 是 所用的磁場的 B 是 2 5 特斯拉 試計算該譜線原來的波長 A40 0 解 對單重項 自旋等于零 之間的躍遷所產生的譜線可觀察到正常塞曼效 應 它使原來的一條譜線分裂為三條 兩個 成分 一個 成分 成分仍在原 來位置 兩個 成分在 成分兩側 且與 成分間的波數間隔都是一個洛侖茲單 位 L 由 Lv 2 其中mcBeL 4 7 4 1405 104140 5A L 米 6 5 氦原子光譜中波長為及 的兩條譜線 在磁場中發生塞曼效應時應分裂成幾 條 分別作出能級躍遷圖 問哪一個是正常塞曼效應 哪個不是 為什么 6 5 氦原子光譜中波長為及 的兩條譜線 在磁場中發生塞曼效應時應分裂成幾 條 分別作出能級躍遷圖 問哪一個是正常塞曼效應 哪個不是 為什么 2131 1 6678 1 1 2 1 PpsDdsA 2131 1 7065 0 3 1 1 PpsSssA 解 1 1 0 1 2 2 0 2 222 1 gMJSLD 譜項 1 0 1 1 0 1 111 1 gMJSLP譜項 Lv 1 0 1 可以發生九種躍遷 但只有三個波長 所以的 光譜線分裂成三條光譜線 且裂開的兩譜線與原譜線的波數差均為 L 是正常塞 曼效應 A1 6678 2 對 2 0 1 1 1 0 221 3 gMJSLS 能級 0 0 0 0 0 1 1 11110 3 gMgMJSLP 能級 對 Lv 2 0 2 所以的光譜線分裂成三條 裂開的兩譜線與 原譜線的波數差均為 2L 所以不是正常塞曼效應 A1 7065 6 6 躍遷的光譜線波長為 在 B 2 5 特斯拉的磁 場中發生塞曼分裂 問從垂直于磁場方向觀察 其分裂為多少條光譜線 其中 波長最長和最短的兩條光譜線的波長各為多少 6 6 躍遷的光譜線波長為 在 B 2 5 特斯拉的磁 場中發生塞曼分裂 問從垂直于磁場方向觀察 其分裂為多少條光譜線 其中 波長最長和最短的兩條光譜線的波長各為多少 2 1 2 2 1 2 33SPNa 原子從 A5896 A 解 對于 3 2 2 1 2 1 2 1 13 222 1 2 gMJSLP 能級 對于 2 2 1 2 1 2 1 03 112 1 2 gMJSLS能級 Lv 3 4 3 2 3 2 3 4 所以從垂直于磁場方向觀察 此譜線分裂為四條 根據塞曼效應中裂開后的譜線同原譜線波數之差的表達式 2 1 v Lv 3 4 2 因此 波長改變 為 AL54 0 3 4 2 最長的波長 max 為 A54 5896 max 最短的波長 min 為 A46 5895 min 6 7 躍遷的精細結構為兩條 波長分別為 5895 93 埃和 5889 96 埃 試求出原能級在磁場中分裂后的最低能級與分裂后的最 6 7 躍遷的精細結構為兩條 波長分別為 5895 93 埃和 5889 96 埃 試求出原能級在磁場中分裂后的最低能級與分裂后的最 SPNa33 原子從 2 3 2P 2 1 2P 高能級相并合時所需要的磁感應強度 高能級相并合時所需要的磁感應強度 解 對 3 4 2 1 2 3 2 3 2 1 1 2 3 2 gMjslP 能級 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 gMjslP 能級 磁場引起的附加能量為 B m he MgE 4 設對應的能量分別為 躍遷 產生的譜線波長分別為 2 1 2 2 1 2 2 3 2 SPP 012 EEE 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 3 2 SPSP 12 那么 AA93 5895 96 5889 12 P 2 能級在磁場中發生分裂 的附加磁 能分別記為 2 1 2 2 3 2 PP 12 E E 現在尋求 1122 EEEE 時的 B B m eh gMgMEEEE 4 22112112 由此得 mc eB gMgM hc EEEE 4 2211 2112 即 mc eB gMgM 4 11 2211 12 因此 有 11 14 122211 gMgMe mc B 其中2 3 1 2211 gMgM 將它們及各量代入上式得 B 15 8 特斯拉 6 8 已知鐵 6 8 已知鐵 的原子束在橫向不均勻磁場中分裂為 9 束 問鐵原子的 J 值 多大 其有效磁矩多大 如果已知上述鐵原子的速度 鐵的原子量 為 55 85 磁極范圍 磁鐵到屏的距離 的原子束在橫向不均勻磁場中分裂為 9 束 問鐵原子的 J 值 多大 其有效磁矩多大 如果已知上述鐵原子的速度 鐵的原子量 為 55 85 磁極范圍 磁鐵到屏的距離 D 5 秒米 103 v 03 0 1 米 L 10 0 2 米 L 磁場中橫向的 磁感應強度的不均勻度 磁場中橫向的 磁感應強度的不均勻度 3 10 dy dB 特斯拉 米 試求屏上偏離最遠的兩束之間的距 離 d 特斯拉 米 試求屏上偏離最遠的兩束之間的距 離 d 解 分裂得條數為 2J 1 現 2J 1 9 所以 J 4 5 原子態 4 D 3 2 g 有效磁 矩為 1 3 5 2 JJBB e gPgJ J m 232 6 21 10 安 米 與第二章 11 題相似 112 2 2 0 0044 y L LL dB dyu dm mv mm 6 9 鉈原子氣體在狀態 當磁鐵調到 B 0 2 特斯拉時 觀察到順磁共振現 象 問微波發生器的頻率多大 6 9 鉈原子氣體在狀態 當磁鐵調到 B 0 2 特斯拉時 觀察到順磁共振現 象 問微波發生器的頻率多大 2 1 2P 解 對原子態 2 1 2P 3 2 2 1 2 1 1 gJSL 由Bghv B 得 hBgv B 代入各已知數 得 9 1 87 10v 1 秒 6 10 鉀原子在 B 0 3 特斯拉的磁場中 當交變電磁場的頻率為赫茲時 觀察到順磁共振 試計算朗德因子 6 10 鉀原子在 B 0 3 特斯拉的磁場中 當交變電磁場的頻率為赫茲時 觀察到順磁共振 試計算朗德因子 9 104 8 g 并指出原子處在何種狀態 并指出原子處在何種狀態 解 由公式Bghv B 得 2 g 鉀外層只有一個價電子 所以slsljs 或 2 1 由 1 1 1 12 2 1 j jl ls s g j j 可知0l 1 2 j 因此鉀原子處于 2 1 2S 狀態 6 11 氬原子 Z 18 的基態為 鉀原子 Z 19 的基態為6 11 氬原子 Z 18 的基態為 鉀原子 Z 19 的基態為 0 1S 2 1 2S 鈣原子 Z 20 的基態為 鈧原子 Z 21 的基態為 鈣原子 Z 20 的基態為 鈧原子 Z 21 的基態為 0 1S 2 3 2D 問這些原子中哪些是抗磁性的 哪些是順磁性的 為什么 問這些原子中哪些是抗磁性的 哪些是順磁性的 為什么 答 凡是總磁矩等于零的原子或分子都表現為抗磁性 總磁矩不等于零的原 子或分子都表現為順磁性 而總磁矩為 BJJ JJgP m e g 1 2 氬原子的基態為 0 1S 00 0 0 J JSL 所以有故氬是抗磁性的 同理 鈣也是抗磁性的 鉀原子的基態為 2 1 2S 02 2 1 2 1 0 J gJSL 所以有 故鉀是順磁 性的 鈧原子的基態為 2 3 2D 0 5 4 2 3 2 1 2 J gJSL 所以有 故鈧也 是順磁性的 6 12 若已知釩 錳 鐵 的原子束 按照史特恩 蓋拉赫實 驗方法通過及不均勻的磁場時 依次分裂成 4 6 和 9 個成分 試確定這些原子 的磁矩的最大投影值 括號中給出了原子所處的狀態 6 12 若已知釩 錳 鐵 的原子束 按照史特恩 蓋拉赫實 驗方法通過及不均勻的磁場時 依次分裂成 4 6 和 9 個成分 試確定這些原子 的磁矩的最大投影值 括號中給出了原子所處的狀態 F 4 S 6 D 5 解 原子的磁矩 J 在磁矩方向的分量為 Z BZ Mg J 在磁場中有 2J 1 個取向 J 在磁場中的最大分量 BZ Jg 最大 1 對于釩 因為 2S 1 4 所以 自旋 S 3 2 F 4 因為是 F 項 所以角量子數 L 3 因為在非均勻磁場中 其原子束分裂為 4 個成 分 則有 2J 1 4 所以 J 3 2 根據 S L J 值求得 g 為 5 2 1 2 1 1 1 1 JJ SSLLJJ g BBBZ Jg 5 3 5 2 2 3 最大 2 錳 因為 2S 1 6 所以 自旋 S 5 2 S 6 因為是 S 項 所以角量子數 L 0 因為在非均勻磁場中 其原子束分裂為 6 個成 分 則有 2J 1 6 所以 J 5 2 因為 L 0 所以 g 2 BBZ Jg 5 最大 3 鐵 因為 2S 1 5 所以 自旋 S 2 D 5 因為是 D 項 所以角量子數 L 2 因為在非均勻磁場中 其原子束分裂為 9 個成 分 則有 2J 1 9 所以 J 4 根據 S L J 值求得 g 為 2 3 1 2 1 1 1 1 JJ SSLLJJ g BBBZ Jg 6 2 3 4 最大 6 13 楊福家教材 210 頁習題 4 3 試證實 原子在6 13 楊福家教材 210 頁習題 4 3 試證實 原子在 6 6G G 3 23 2態的磁矩等于零 并通 過原子矢量模型對這一事實做出解釋 態的磁矩等于零 并通 過原子矢量模型對這一事實做出解釋 解 6G 3 2 態的各種量子數 S 6 1 2 5 2 L 4 J 3 2 該原子態的 Lande g 因子 0 2 52 32 2 72 5542 52 3 1 g 原子處于該態時的磁矩 0 1 BJ JJg J T S PJ PL PS L 利用矢量模型對這一事實進行解釋 各類角動量和磁矩的矢量圖如上 其中 PS S S 1 1 2 35 4 1 2 P L L L 1 1 2 20 1 2 P J J J 1 1 2 15 4 1 2 S gS S S 1 1 2 B 35 1 2 B L gl L L 1 1 2 B 利用PS PL PJ之間三角形關系可求出 30 cos 72 5 由已知的cos S L 可求出 B 5 以及 120 所以 90 即 矢量 與 PJ 垂直 在 PJ 方向的投影為 0 第七章第七章 原子的殼層結構原子的殼層結構 7 1 有兩種原子 在基態時其電子殼層是這樣添充的 1 n 1 殼層 n 2 殼層 和 3s 次殼層都填滿 3p 次殼層填了一半 2 n 1 殼層 n 2 殼層 n 3 殼層 及 4s 4p 4d 次殼層都填滿 試問這是哪兩種原子 7 1 有兩種原子 在基態時其電子殼層是這樣添充的 1 n 1 殼層 n 2 殼層 和 3s 次殼層都填滿 3p 次殼層填了一半 2 n 1 殼層 n 2 殼層 n 3 殼層 及 4s 4p 4d 次殼層都填滿 試問這是哪兩種原子 解 每個殼層上能容納的最多電子數為 每個次殼層上能容納的最多電 子數為 2 2n 12 2 l 1 n 1 殼層 n 2 殼層填滿時的電子數為 102212 22 3s 次殼層填滿時的電子數為 2 102 2 3p 次殼層填滿一半時的電子數為 3 112 2 2 1 此種原子共有 15 個電子 即 Z 15 是 P 磷 原子 2 與 1 同理 n 1 2 3 三個殼層填滿時的電子數為 28 個 4s 4p 4d 次殼層都填滿的電子數為 18 個 所以此中原子共有 46 個電子 即 Z 46 是 鈀 原子 Pd 7 2 原子的 3d 次殼層按泡利原理一共可以填多少電子 為什么 7 2 原子的 3d 次殼層按泡利原理一共可以填多少電子 為什么 答 根據泡利原理 在原子中不能有兩個電子處在同一狀態 即不能有兩個 電子具有完全相同的四個量子數 對每一個次殼層 最多可以容納個電 子 3d 次殼層的 所以 3d 次殼層上可以容納 10 個電子 而不違背泡利原 理 l 122 l 2 l 7 3 原子的 S P D 項的量子修正值7 3 原子的 S P D 項的量子修正值Na01 0 86 0 35 1 D ps 把譜項 表達成 把譜項 表達成 2 2 n ZR 形式 其中 Z 是核電荷數 試計算 3S 3P 3D 項的形式 其中 Z 是核電荷數 試計算 3S 3P 3D 項的 分別為 何值 并說明 分別為 何值 并說明 的物理意義 的物理意義 解 用量子數虧損表征譜項時 形式為 22 n R n R 用有效電荷表征時 形式為 2 2 2 2 n ZR n RZ 兩種形式等價 令二者相等 則得到 與 之間的關系 n n Z n n Z 用 Z 11 和 n 3 代入上式得 3S 3P 3D 項的 值分別為 3 119 18 3 1 35 S 3 119 6 30 86 P 3 1110 30 01 D 代表因內層電子對核電荷的屏蔽效應 價電子的軌道貫穿效應和原子實的極化 效應而使價電子感受到的核電荷數的虧損 Z 為價電子感受到的平均有效電 荷 對于鈉原子 核電荷數為 11 由于 10 個內層電子的電荷屏蔽 價電子感受 到的有效核電荷數為 1 價電子的軌道貫穿效應和原子實的極化效應又進一步使 價電子感受到的核電荷數有所增加 特別是 價電子的軌道越扁 價電子軌道貫 穿進入原子實的幾率就越大 并因此越大程度地抵消了內層電子的電荷屏蔽 使 得價電子感受到的核電荷數虧損程度降低 感受到的有效電荷增加 由于 S 軌道 最扁 所以 3S 電子感受到的有效核電荷數最大 7 4 原子中能夠有下列量子數相同的最大電子數是多少 7 4 原子中能夠有下列量子數相同的最大電子數是多少 1 2 3 l n l mn ln 答 1 相同時 還可以取兩個值 l n l m s m 2 1 2 1 ss mm 所以此時 最大電子數為 2 個 2 相同時 還可以取兩ln l m12 l個值 而每一個還可取兩個值 所以相同的最大電子數為 s m ln 12 2 l個 3 n相同時 在 2 基礎上 l還可取個值 因此相同的最大電子數 是 nn 2 1 0 n l 2 12 2nlN 7 5 從實驗得到的等電子體系 K Ca 等的莫塞萊圖解 怎樣知道從鉀 Z 19 開始不填 3d 而填 4s 次殼層 又從鈧 Z 21 開始填 3d 而不填 4s 次殼層 7 5 從實驗得到的等電子體系 K Ca 等的莫塞萊圖解 怎樣知道從鉀 Z 19 開始不填 3d 而填 4s 次殼層 又從鈧 Z 21 開始填 3d 而不填 4s 次殼層 解 該等電子體系在核外具有 19 個電子 前 18 個電子構成原子實 最后一 個價電子決定著原子的能級和光譜 該等電子體系的光譜項可表達為 2 2 n ZR T 此公式可變形為 1 Z nR T 等電子體系中的每個原子或 者離子的 3D 4S 光譜項都可以通過實驗測量出來 利用實驗結果作Z R T 關 系圖 即莫塞萊圖 理論上 等電子體系的相同原子態給出的關系曲線應近似構 成一條直線 且直線的斜率約為 1 n 從實驗測量給出的結果圖 參見教材 215 頁圖 7 3 中可以看到 曲線斜率不同 兩者交叉于 Z 20 和 21 之間 在 Z 20 時 曲線位于曲線下方 Z 21 時情況相反 由圖 7 1 所 示的莫塞萊圖可見 相交于 Z 20 與 21 之間 當 Z 19 和 20 時 的 SD 22 43和 2 3 D 2 4 S SD 22 43和S 2 4 譜項值大于的值 由于能量同譜項值有D 2 3hcTE 的關系 可見從鉀 Z 19 起 到鈣 Z 20 的能級低于能級 所以鉀和鈣從第 19 個電子開始不是填 次殼層 從鈧 Z 21 開始 譜項低于普項 也就是能級低 于能級 所以 從鈧 Z 21 開始填次殼層 S 2 4D 2 3 sd43 而填S 2 4D 2 3D 2 3 S 2 4sd43 而不填 第八章第八章 X 射線射線 8 1 某 X 光機的高壓為 10 萬伏 問發射光子的最大能量多大 算出發射 X 光的 最短波長 8 1 某 X 光機的高壓為 10 萬伏 問發射光子的最大能量多大 算出發射 X 光的 最短波長 解 電子的全部能量轉換為光子的能量時 X 光子的波長最短 而光子的最 大能量是 電子伏特 5 max 10 Ve 而 min max c h 所以 A c h124 0 1060 110 1031063 6 195 834 max min 8 2 利用普通光學反射光柵可以測定 X 光波長 當掠射角為8 2 利用普通光學反射光柵可以測定 X 光波長 當掠射角為 而出現 n 級極大值 出射光線偏離入射光線為 而出現 n 級極大值 出射光線偏離入射光線為 2 是偏離是偏離 級極大出射線的角度 試證 出現 n 級極大的條件是 級極大出射線的角度 試證 出現 n 級極大的條件是 nd 2 sin 2 2 sin2 d為光柵常數 即兩刻紋中心之間的距離 當為光柵常數 即兩刻紋中心之間的距離 當 和和 都很小時公式簡化為都很小時公式簡化為 nd 2 2 解 相干光出現極大的條件是兩光束光的光程差 等于 n 而光程差為 2 coscos 2 sinsinCDABddd 22 根據出現極大值的條件應有 nd 2 sin 2 2 sin2 當 和 都很小時 有 22 sin 22 2 2 2 sin 由此 上式化為 2 nd 即 nd 2 2 8 3 一束 X 光射向每毫米刻有 100 條紋的反射光柵 其掠射角為 20 已知第一 級極大出現在離 0 級極大出現射線的夾角也是 20 算出入射 X 光的波長 8 3 一束 X 光射向每毫米刻有 100 條紋的反射光柵 其掠射角為 20 已知第一 級極大出現在離 0 級極大出現射線的夾角也是 20 算出入射 X 光的波長 解 根據上題導出公式 nd 2 sin 2 2 sin2 由于 20 20 二者皆很小 故可用簡化公式 nd 2 2 由此 得 5 08 2 d A n 8 4 已知 Cu 的線波長是 1 542 以此 X 射線與 NaCl 晶體自然而成角 入射而得到第一級極大 試求 NaCl 晶體常數 8 4 已知 Cu 的線波長是 1 542 以此 X 射線與 NaCl 晶體自然而成角 入射而得到第一級極大 試求 NaCl 晶體常數d K A 5015 解 已知入射光的波長 當掠射角時 出現一級極大 n 1 由 A542 1 5015 2 sinnd 2 825 2sin dA 8 5 鋁 Al 被高速電子束轟擊而產生的連續 X 光譜的短波限為 5 問這時是 否也能觀察到其標志譜 K 系線 8 5 鋁 Al 被高速電子束轟擊而產生的連續 X 光譜的短波限為 5 問這時是 否也能觀察到其標志譜 K 系線 A 解 短波限 X 光子能量等于入射電子的全部動能 因此 3 1048 2 c h 電 電子伏特 要使鋁產生標志譜 K 系 則必須使鋁的 1S 電子吸收足夠的能量被電離而產生空 位 因此轟擊電子的能量必須大于或等于 K 吸收限能量 吸收限能量可近似的表 示為 2 2 Z n Rhc EK 這里 1 1 13nZ 所以有 1030 2 1031063 610097 1169 1313 3 8347 22 電子伏特 hc RRhcEK 故能觀察到 8 6 已知 Al 和 Cu 對于的 X 光的質量吸收系數分別是 Al 和 Cu 的密度分別是和 現若分別單獨用 Al 板或 Cu 板作擋板 要的 X 光的 強度減至原來強度的 1 100 問要選用的 Al 板或 Cu 板應多厚 8 6 已知 Al 和 Cu 對于的 X 光的質量吸收系數分別是 Al 和 Cu 的密度分別是和 現若分別單獨用 Al 板或 Cu 板作擋板 要的 X 光的 強度減至原來強度的 1 100 問要選用的 Al 板或 Cu 板應多厚 A7 0 公斤米公斤和米 0 5 5 0 2233 107 2米公斤 33 1093 8米公斤 A7 0 解 0 x II e 因為 X 光子能量較低 通過物質時 主要是電離吸收 故可 只考慮吸收而略掉散射 00 xx II eI e 對鋁 2 0 5 mkg 33 2 7 10 kg m 0 1 100 I I 所以 0 ln 3 4 Al I I xmm 同理 對 Cu 0 1 Cu xmm 8 7 為什么在 X 光吸收光譜中 K 系帶的邊緣是簡單的 L 系帶是三重的 M 系帶 是五重的 8 7 為什么在 X 光吸收光譜中 K 系帶的邊緣是簡單的 L 系帶是三重的 M 系帶 是五重的 答 吸收譜的 K L M 系是高能 X 光子分別將 n 1 2 3 殼層的電 子電離而產生的 每一譜線的銳邊相當于一極限頻率 在這頻率下 X 光子恰好 把電子從相應殼層電離而不使其具有動能 對應于 X 射線能級的譜項公式是 4 3 4 42 2 2 K n n SZR n ZR T 式中 對不同的n和不同的 都不同 K J 1 2 由于 J 不同也有不同的譜項數 l 對于 K 殼層 2 1 0 1 Jln 只有一個值 只有一個光譜項 所以 K 系 帶的邊緣是簡單的 對于 L 殼層有三組量子數 三個光譜項 2 n 11 0 1 22 lJlJ 3 1 2 lJ 所以 L 系有三個吸收限 即是三重的 同理 M 殼層 可以有五組量子數 3 n 11 0 1 22 lJl