工程問題工程問題基本數量關系式：（1）一般公式：工作效率工作時間工作總量 工作總量工作效率工作時間工作總量 工作時間工作效率（2）用假設工作總量為“1”的方法解工程問題的公式：1工作時間=單位時間內完成工作總量的幾分之幾；一般給出工作時間，就可以知道工作效率為,1單位時間能完成的幾分之幾=工作時間。如果可以給出工作效率是，就可以知道工作時間為a.一、兩個人的問題 標題上說的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體. 例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？ . 例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？ . 例3 某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？ . 例4 一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？ 例5 一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成.現在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊休息了多少天？ 例6 有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要10天，單獨完成乙工作要15天；李單獨完成甲工作要 8天，單獨完成乙工作要20天.如果每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項工作都完成最少需要多少天？ . 例7 一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天，如果兩人合作，他 要8天完成這項工程，兩人合作天數盡可能少，那么兩人要合作多少天？ 例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨做時快如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？ 二、多人的工程問題 我們說的多人，至少有3個人，當然多人問題要比2人問題復雜一些，但是解題的基本思路還是差不多. 例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？ 例10 一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數是甲做的天數的3倍，再由丙接著做，丙做的天數是乙做的天數的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？ 例11 一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？ 例12 某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？ 例13 制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現在三個車間一起做，完成后發現甲車間比乙車間多制作零件2400個.問丙車間制作了多少個零件？ . 例14 搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？ 3、 水管問題 從數學的內容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當于一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同. 例15 甲、乙兩管同時打開，9分鐘能注滿水池.現在，先打開甲管，10分鐘后打開乙管，經過3分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6立方米水，這個水池的容積是多少立方米？ 例16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現在打開其中若干根水管，經過預定的時間的1/3，再把打開的水管增加一倍，就能按預定時間注滿水池，如果開始時就打開10根水管，中途不增開水管，也能按預定時間注滿水池.問開始時打開了幾根水管？例17 蓄水池有甲、丙兩條進水管，和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需3小時，單開丙管需要5小時.要排光一池水，單開乙管需要 4小，丁管需要6小時，現在水池內有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙的順序輪流打開1小時，問多少時間后水開始溢出水池？ 例18 一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？ 例19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的.打開A管，8小時可將滿池水排空，打開C管，12小時可將滿池水排空.如果打開A，B兩管，4小時可將水排空.問打開B，C兩管，要幾小時才能將滿池水排空？ . 例20 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一 草；21頭牛9星期吃完第二片牧場的草.問多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草？ “牛吃草”這一類型問題可以以各種各樣的面目出現.限于篇幅，我們只再舉一個例子. 例21 畫展9點開門，但早有人排隊等候入場.從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多.如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊，如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊.問第一個觀眾到達時間是8點幾分？ 例22.一件工作，如果甲單獨做，那么甲按規定時間可提前2天完成，乙則要超過規定時間3天才完成。現在甲乙二人合作二天后，剩下的乙單獨做，剛好在規定日期內完成。若甲乙二人合作，完成工作需多長時間？ 例1答：乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9與6的最小公倍數是18.設全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時間是 （18- 2 3） 3= 4（天）. 解三：甲與乙的工作效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了3天，相當于乙做了2天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4（天）例2解：共做了6天后， 原來，甲做 24天，乙做 24天， 現在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率 如果乙獨做，所需時間是 如果甲獨做，所需時間是 答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天例3解：先對比如下： 甲做63天，乙做28天； 甲做48天，乙做48天. 就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的 甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當于乙要做 因此，乙還要做 28+28= 56 （天）. 答：乙還需要做 56天例4解一：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量 余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數是 2+8+ 1= 11（天）. 答：從開始到完工共用了11天. 解二：設全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天之后，還需兩隊合作 （30- 3 8- 1 2）（3+1）= 1（天）. 解三：甲隊做1天相當于乙隊做3天. 在甲隊單獨做 8天后，還余下（甲隊） 10-8= 2（天）工作量.相當于乙隊要做23=6（天）.乙隊單獨做2天后，還余下（乙隊）6-2=4（天）工作量. 4=3+1， 其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天. 例5解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是 由于兩隊休息期間未做的工作量是 乙隊休息期間未做的工作量是 乙隊休息的天數是 答：乙隊休息了5天半. 解二：設全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩隊休息期間未做的工作量是 （3+2）16- 60= 20（份）. 因此乙休息天數是 （20- 3 3） 2= 5.5（天）. 解三：甲隊做2天，相當于乙隊做3天. 甲隊休息3天，相當于乙隊休息4.5天. 如果甲隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當于乙隊6天工作量，乙休息天數是 16-6-4.5=5.5（天）. 例6解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙. 設乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數），張每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此時張還余下乙工作（60-48）份.由張、李合作需要 （60-48）（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 答：這兩項工作都完成最少需要12天解：設這項工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩人合作，共完成 3 0.8 + 2 0.9= 4.2（份）. 因為兩人合作天數要盡可能少，獨做的應是工作效率較高的甲.因為要在8天內完成，所以兩人合作的天數是 （30-38）（4.2-3）=5（天）. 很明顯，最后轉化成“雞兔同籠”型問題.解：乙6小時單獨工作完成的工作量是 乙每小時完成的工作量是 兩人合作6小時，甲完成的工作量是 甲單獨做時每小時完成的工作量 甲單獨做這件工作需要的時間是 答：甲單獨完成這件工作需要33小時. 這一節的多數例題都進行了“整數化”的處理.但是，“整數化”并不能使所有工程問題的計算簡便.例8就是如此.例8也可以整數化，當求出乙每 有一點方便，但好處不大.不必多此一舉.解：設這件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人獨做需要90天完成.例9也可以整數化，設全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會方便些？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做32=6（天）. 說明甲做了2天，乙做了23=6（天），丙做26=12(天），三人一共做了 2+6+12=20（天）. 答：完成這項工作用了20天. 本題整數化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數有一個易求出的最小公倍數72.可設全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了解：丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的42=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要 答：甲獨做需要26天. 事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就知甲做1天，相當于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉化為甲再做13天來完成. 解一：設這項工作的工作量是1. 甲組每人每天能完成 乙組每人每天能完成 甲組2人和乙組7人每天能完成 答：合作3天能完成這項工作. 解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成. 現在已不需顧及人數，問題轉化為： 甲組獨做12天，乙組獨做4天，問合作幾天完成？ 小學算術要充分利用給出數據的特殊性.解二是比例靈活運用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數. 解一：仍設總工作量為1. 甲每天比乙多完成 因此這批零件的總數是 丙車間制作的零件數目是 答：丙車間制作了4200個零件. 解二：10與6最小公倍數是30.設制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份. 乙、丙一起，8天完成.乙完成82=16（份），丙完成30-16=14（份），就知 乙、丙工作效率之比是1614=87. 已知 甲、乙工作效率之比是 32= 128. 綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 1287. 當三個車間一起做時，丙制作的零件個數是 2400（12- 8） 7= 4200（個）解：設搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現在相當于三人共同完成工作量2，所需時間是 答：丙幫助甲搬運3小時，幫助乙搬運5小時. 解本題的關鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間.本題計算當然也可以整數化，設搬運一個倉庫全部工作量為 60.甲每小時搬運 6，乙每小時搬運 5，丙每小時搬運4. 三人共同搬完，需要 60 2 （6+ 5+ 4）= 8（小時）. 甲需丙幫助搬運 （60- 6 8） 4= 3（小時）. 乙需丙幫助搬運 （60- 5 8）4= 5（小時）. 解：甲每分鐘注入水量是 ：（1-1/9 3）10=1/15乙每分鐘注入水量是：1/9-1/15=2/45因此水池容積是：0.6（1/15-2/45）=27（立方米）答：水池容積是27立方米.分析：增開水管后，有原來2倍的水管，注水時間是預定時間的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增開水管后的這段時間的注水量，是前一段時間注水量的4倍。 設水池容量是1，前后兩段時間的注水量之比為：1：4，那么預定時間的1/3（即前一段時間）的注水量是1/（1+4）=1/5。10根水管同時打開，能按預定時間注滿水，每根水管的注水量是1/10，預定時間的1/3，每根水官的注水量是1/101/3=1/30要注滿水池的1/5，需要水管1/51/30=6（根）解：前后兩段時間的注水量之比為：1：（1-1/3）1/32=1：4 前段時間注水量是：1（1+4）=1/5 每根水管在預定1/3的時間注水量為：1101/3=1/30 開始時打開水管根數：1/51/30=6（根）答：開始時打開6根水管。分析：，否則開甲管的過程中水池里的水就會溢出. 以后（20小時），池中的水已有 此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到達井口，每小時它總是爬3尺，又滑下2尺.問這只青蛙需要多少小時才能爬到井口？ 看起來它每小時只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小時后，它再爬1小時，往上爬了3尺已到達井口. 因此，答案是28小時，而不是30小時.解：先計算1個水龍頭每分鐘放出水量. 2小時半比1小時半多60分鐘，多流入水 4 60= 240（立方米）. 時間都用分鐘作單位，1個水龍頭每分鐘放水量是 240 （ 5 150- 8 90）= 8（立方米）， 8個水龍頭1個半小時放出的水量是 8 8 90， 其中 90分鐘內流入水量是 4 90，因此原來水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米）. 打開13個水龍頭每分鐘可以放出水813，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要 5400 （8 13- 4）=54（分鐘）. 答：打開13個龍頭，放空水池要54分鐘. 水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.解：設滿水池的水量為1. A管每小時排出 A管4小時排出 因此，B，C兩管齊開，每小時排水量是 B，C兩管齊開，排光滿水池的水，所需時間是 答： B， C兩管齊開要 4 小時 48分才將滿池水排完. 本題也要分開考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量.由于不知具體數量，像工程問題不知工作量的具體數量一樣.這里把兩種水量分別設成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實上，也可以整數化，把原有水設為8與12的最小公倍數 24.解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量牛頭數星期數.根據這一計算公式，可以設定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計量單位. 原有草+4星期新長的草=124. 原有草+9星期新長的草=79. 由此可得出，每星期新長的草是 （79-124）（9-4）=3. 那么原有草是 79-39=36（或者124-34）. 對第三片牧場來說，原有草和18星期新長出草的總量是 這些草能讓 907.218=36（頭） 牛吃18個星期. 答：36頭牛18個星期能吃完第三片牧場的草.例20與例19的解法稍有一