九年級數學(上)第三章 證明(三),1.平行四邊形(4)三角形的中位線及性質,陽泉市義井中學 高鐵牛,駛向勝利的彼岸,學好幾何標志是會“證明”,證明命題的一般步驟:,(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結論(求證);,(2)根據題意,畫出圖形;,(3)結合圖形,用符號語言寫出“已知”和“求證”;,(4)分析題意,探索證明思路(由“因”導“果”,執“果”索“因”);,(5)依據思路,運用數學符號和數學語言條理清晰地寫出證明過程;,(6)檢查表達過程是否正確,完善.,駛向勝利的彼岸,平行四邊形的性質與判定,平行四邊形的兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等,平行四邊形的對角相等鄰角互補,平行四邊形的對角線互相平分,夾在兩條平行線間的平行線段相等,兩組對邊分別平行的四邊形 兩組對邊分別相等的四邊形 一組對邊平行且相等的四邊形,兩組對角分別相等的四邊形,對角線互相平分四邊形,駛向勝利的彼岸,等腰梯形的性質與判定,兩底平行,兩腰相等,等腰梯形同一底上的兩個角相等,等腰梯形的兩條對角線相等,兩腰相等的梯形是等腰梯形,同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形,兩條對角線相等的梯形是等腰梯形,駛向勝利的彼岸,挑戰分割三角形,你能將任意一個三角形分成四個全等的三角形嗎?,連接每兩邊的中點,看看得到了什么樣的圖形?,四個全等的三角形.,請你設法驗證上面的結論,你敢應戰嗎?,連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.,猜一猜,三角形中位線有什么性質?,三角形中位線的性質P80,定理:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.,駛向勝利的彼岸,已知:如圖,DE是ABC的中位線.,分析:要證明線段的倍分關系到,可將DE加倍后證明與BC相等.從而轉化為證明平行四邊形的對邊的關系,于是可作輔助線,利用全等三角形來證明相應的邊相等.,求證:DEBC,三角形中位線的性質P80,證明:如圖,延長DE至F,使EF=DE,連接CF.,駛向勝利的彼岸, AE=CE,AED=CEF,ABCCDA(SAS).,AD=CF,ADE=F.,BDCF.,AD=BD,BD=CF.,四邊形ABCD是平行四邊形.,DFBC,DF=BC.,DEBC,(一組對邊平等且相等的四邊形是平行四邊形),駛向勝利的彼岸,三角形中位線性質的運用,利用定理“三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半”,請你證明下面分割出的四個小三角形全等.,已知:如圖,D,E,F分別是ABC各邊的中點.,求證: ADEDBFEFCFED.,證明:, D,E,F分別是ABC各邊的中點.,(三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半).,ADEDBFEFCFED(SSS).,分析:利用三角形中位線性質,可轉化用(SSS)來證明三角形全等.,駛向勝利的彼岸,已知:如圖,A,B兩地被池塘隔開,在沒有任何測量工具的情況下,有通過學習方法估測出了A,B兩地之間的距離:先在AB外選一點C,然后步測出AC,BC的中點M,N,并測出MN的長,由此他就知道了A,B間的距離.你能說出其中的道理嗎?,測量兩點之間不能到達的距離的方法:-中位線法,其中的道理是: 連結A、B,MN是ABC的的中位線,AB=2MN.,一個運用中位線的重要“模型”,駛向勝利的彼岸,如圖,四邊形ABCD四邊的中點分別為E,F,G,H,四邊形EFGH是怎樣四邊形?你的結論對所有的四邊形ABCD都成立嗎?,猜想:四邊形EFGH是平行四邊形.這個結論對所有的四邊形ABCD都成立.,求證:四邊形EFGH是平行四邊形.,分析:將四邊形ABCD分割為三角形,利用三角形的中位線可轉化兩組對邊分別平行或一組對邊平行且相等來證明.,證明:連接AC.,E,F,G,H分別為各邊的中點, EFHG, EF=HG.,已知:如圖,在四邊形ABCD中, E,F,G,H分別為各邊的中點.,EFAC,HGAC,四邊形EFGH是平行四邊形.,一個運用中位線的重要“模型”,駛向勝利的彼岸,你敢應戰嗎？分組選一個課題試一試.,改變四邊形ABCD的形狀，其它條件不變， EFGH的形狀會有什么變化？,四邊形ABCD是矩形；,在四邊形ABCD是菱形；,四邊形ABCD是正方形；,四邊形ABCD是梯形；,四邊形ABCD是等腰梯形；,四邊形ABCD是平行四邊形；,四邊形ABCD是對角線互相垂直的行四邊形；,四邊形ABCD是對角線相等的行四邊形；,四邊形ABCD是對角線相等且互相垂直的行四邊形.,三角形中位線的性質,駛向勝利的彼岸,定理:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半.,這個定理提供了證明線段平行,和線段成倍分關系的根據.,模型:連接任意四邊形各邊中點所成的四邊形是平行四邊形.,要重視這個模型的證明過程反映出來的規律:對角線的關系是關鍵.改變四邊形的形狀后,對角線具有的關系(對角線相等,對角線垂直,對角線相等且垂直)決定了各中點所成四邊形的形狀.,DE是ABC的中位,DEBC,知識的升華,P85習題3.3 1,2,3,4題. 祝你成功！,駛向勝利的彼岸,P85習題3.3 1題.,1.已知:在ABC中,D,E,F分別是邊BC,CA,AB的中點. 求證:四邊形AFDE的周長等于AB+AC.,駛向勝利的彼岸,P85習題3.3 2題.,2.求證:三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.,駛向勝利的彼岸,P85習題3.3 3題.,3.已知:如圖,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是邊AB,CD,AC,BD的中點. 求證:四邊形EGFH是平行四邊形.,駛向勝利的彼岸,P85習題3.3 4題