專題01全等三角形中的手拉手旋轉模型

【模型展示】

E

特點

Be口

在線段BCD同側作兩個等邊三角形4ABC和小CDE,連接AD與BE。

(1)△BCE^AACD,△BCM^AACN,△MCE^ANCD

(2)AD=BE,ZAFB=60°

(3)AMCN為等邊三角形

結論

(4)MN//BD

(5)CF為NBFD的角平分線

(6)FC+FE=FD

【模型證明】

E

VAABC^AECD為等邊三角形

解決方案

:.BC=AC,CE=CD,ZACB=ZECD=60°

ZACB=ZECD

:.ZACB+ZACE=ZECD+NACE

NBCE=NACD

在AA3C與AECD中

BC=AC

<NBCE=NACD

CE=CD

AABC=AECD

BAcD

^BCE=AACD

BE=AD

ABCE=AACD

:.ZCBE=ZCAD

???ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°

ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°

ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMO)

ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)

ZBMC=ZAFM

ZBCM=NARM=60°,即NAR3=60°

ABCM=AACN

CM=CN

ZMCN=60°

AMCN為等邊三角形

?rAMCN為等邊三角形

NMNC=60°

?：NNCD=60°

ZMNC=ZNCD

:.MN//BD

E

a<A

BcD

過點C分別作PC1BE,QC1AD

ABCE=AACD

■.BC=AC,ZCBE=ZCAD

在中

ZCBE=ZCAD

<ZBPC=ZAQC

BC=AC

RtABPCvRt^AQC

在R/APCR與R/AQCT中

PC=QC

FC=FC

RtkPCF=RtAQCF

即RC平分ZBbD

在線段RD上截取FG=RE,連接EG

-.-FG=FE,ZEFG=60°

AER湃邊三角形

EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°

;NCED=NEFG=60°

ZFEC=ZGED

在AEG。與此口餅

ZEGD=ZEFC

<EF=EG

ZFEC=ZGED

:.AEGD=AEFC

GD=FC

FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

結論：AE=CG且AE_LCG

其他相關

模型及其

結論

S=6?

°AADG-"CDE'

若AM=GM,則其反向延長線DH_LCE;

DM=-CE

2

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在AABC中，NABC=90。，分別以A3,AC為邊作等邊△ABD和等邊AACE,連結￡）石，若45=3,

AC=5,則即=（）

A.2aB.2A/3C.4D.3亞

2.如圖，C為線段AE上一動點（不與點A,E重合），在AE同側分別作等邊三角形A8C和等邊三角形

CDE,與BE交于點。，AD與BC交于點P,BE與CD交于點連結尸。.以下結論錯誤的是（）

Bf

ACE

A.ZAOB=60°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

3.如圖，在RdABC和RdADE中，ZBAC=ZDAE=9Q°,AB=AC=5,AO=AE=2,點P,Q,R分別

是BC,DC,的中點.把AAOE繞點A在平面自由旋轉，則△PQR的面積不可能是（）

A.8B.6C.4D.2

4.如圖，在44BC中，AB=AC,點/是射線BC上兩點，且AD_LAF,若M=AD,ZBAD=ZCAF=15°；

則下列結論中正確的有（）

①CELBF；②△ABD/AACE；③以"。=S四邊形初B；@BC-^EF=2AD-CF

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，正AABC和正△CDE中，B、C、。共線，且3c=3CD,連接AO和BE相交于點R以下結論中

正確的有（）個

①//出8=60。②連接FC,則C/平分NBED?BF=3DF④BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

6.如圖，點C是線段AE上一動點（不與A,E重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形

CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,有以下5個結論:①AD=BE；

②PQ〃AE；③AP=BQ；?DE=DP；⑤NAOB=60。.其中一定成立的結論有（）個

B

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

7.如圖，AABD、ZkCDE是兩個等邊二角形，連接8C、BE.ZDBC=3Q°,BD=6,8c=8,則6￡=

8.如圖，△ABC中，ZC=90°,AC=BC=y/2,將△ABC繞點A順時針方向旋轉60。到△A8C的位置，連

接BC,8C的延長線交A8于點。，則8。的長為.

9.如圖，AABC是邊長為5的等邊三角形，3O=CD,/班心=120。.及尸分別在A8、AC上，且/EZ）戶=60。,

則三角形A斯的周長為.

E

54--V-/^>c

D

10.如圖，C為線段AE上一動點(不與點A、￡重合)，在AE同側分別作正△ABC和正△a)E,AD與BE

交于點與2C交于點尸,BE與CD交于點。，連接尸0.以下五個結論:①②尸Q〃AE；③4尸=2。；

@DE=DP-⑤/4。8=60。.恒成立的結論有.(把你認為正確的序號都填上)

三、解答題

11.如圖，AACB和AECD都是等腰直角三角形，。4=。2,。=。巳八4。3的頂點人在4瓦刀的斜邊。石上,

連接BO.

(1)求證：BD=AE.

(2)若AE=3cm,AD=6cm,求AC的長.

12.如圖，A、B、C在同一直線上，且AABD,△BCE都是等邊三角形，AE交BD于點M,CD交BE于

點N,MN〃AC,求證：

⑴ZBDN=ZBAM；

(2)ABMN是等邊三角形.

E

13.如圖1,B、C、。三點在一條直線上，與8E交于點。，△ABC和△ECD是等邊三角形.

(1)求證：AACD沿/XBCE；

(2)求/B。。的度數；

14.在△4所和4DEC中，AC.BD相交于點P,AE,2。相交于點。，AE=BE,DE=CE,NAEB=NDEC.

(1)求證：AC=BD；

(2)求證：ZAPB=ZAEB.

15.△ACB^AOCE是共頂點C的兩個大小不一樣的等邊三角形.

⑴問題發現：

如圖1,若點A,D,E在同一直線上，連接AE,BE.

①求證：4ACD咨ABCE；

②求NAEB的度數.

(2)類比探究：如圖2,點8、D、E在同一直線上，連接AE,AD,BE,CM為△OCE中。E邊上的高，請

求NADB的度數及線段AD,0M之間的數量關系，并說明理由.

(3)拓展延伸：如圖3,若設A。(或其延長線)與BE的所夾銳角為a,則你認為a為多少度，并證明.

16.如圖，在AA8C和AAOE中，AB^AC,AD^AE,NBAC=NDAE,連接B￡),CE,BD與CE交于點

O,8。與AC交于點孔

(1)求證：BD=CE.

(2)若/BAC=48。，求/C。。的度數.

(3)若G為CE上一點，GE=OD,AG=OC,S.AG//BD,求證：BD±AC.

17.如圖1,在等腰直角三角形ABC中，AB^AC,/54C=90。，點、E,P分別為AB,AC的中點，H為線

段跖上一動點(不與點E,/重合)，過點A作AG_LA"且AG=4"，連接GC,HB.

(1)證明：AAHB烏AAGC；

(2)如圖2,連接GRHG,HG交AF于點、Q.

①證明：在點”的運動過程中，總有NHFG=90。；

②當AAQG為等腰三角形時，求NAHE的度數.

(1)如圖1,線段AN與線段8M是否相等?證明你的結論；

(2)如圖1,線段AN與線段交于點O,求/AOM的度數；

(3)如圖2,AN與MC交于點E,BM馬CN交于點、F,探究ACEF的形狀，并證明你的結論.

19.已知：兩個等腰直角三角板AACB和(AC=BC,DC=CE,NAC2=/OCE=90。)如圖所示擺

放，連接AE、8。交于點O.AE與。C交于點M,8。與AC交于點N.

（1）如圖1（兩個等腰直角三角板大小不等），試判斷AE與BO有何關系并說明理由；

（2）如圖2（兩個等腰直角三角板大小相等，即AC=QC）,在不添加任何輔助線的情況，請直接寫出圖2

中四對全等的直角三角形.

20.如圖1,在AA8C中，CA=CB,ZACB=90°.點。是AC中點，連接8。，過點A作交8。

的延長線于點E,過點C作CFLBD于點F.

（1）求證：/EAD=/CBD；

（2）求證：BF=2AE；

（3）如圖2,將△氏/沿8c翻折得到ABCG,連接AG,請猜想并證明線段AG和A8的數量關系.

21.定義：我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”.

E

圖2

(1)特例感知：如圖1,四邊形ABC。是“垂美四邊形"，如果OA=OD=go3,03=2,ZOBC=60°,貝U

AD2+BC2=,AB2+CD2=.

(2)猜想論證：如圖1,如果四邊形ABC。是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對邊AB,CD與BC,之間的

數量關系并給予證明.

(3)拓展應用：如圖2,分別以Rt^ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACPG和正方形A2DE,

連接CE,BG,GE,已知AC=4,Zfi4c=60。，求GE長.

22.兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并將它們的底角頂點分別對應連接起來得到

兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形.如圖1,在“手拉手”圖形中，AB^AC,AD=AE,

ZBAC=ZDAE,連接8。，CE,貝1]△A3。0△ACE.

(1)請證明圖1的結論成立;

(2)如圖2,△ABC和△AED是等邊三角形，連接8。，EC交于點。，求/8OC的度數;

(3)如圖3,AB=BC,ZABC^ZBDC^60°,試探究NA與/C的數量關系.

23.已知在欣△ABC中，ZACB=90°,a,6分別表示/A,的對邊，a>b.記△ABC的面積為S.

(1)如圖1,分別以AC,CB為邊向形外作正方形ACQE和正方形BGFC.記正方形ACOE的面積為S1,正

方形BG尸C的面積為S?.

①若H=9,S2=16,求S的值；

②延長交GB的延長線于點N,連結PN,交BC于點M,交AB于點H.若依，A3(如圖2所示)，求

證：S2-Sl=2S.

(2)如圖3,分別以AC,CB為邊向形外作等邊三角形AC。和等邊三角形CBE,記等邊三角形AC。的面積

為岳，等邊三角形CBE的面積為邑.以A8為邊向上作等邊三角形ABF(點。在4ABF內)，連結EF,CF.若

EFLCF,試探索邑-岳與S之間的等量關系，并說明理由.

24.如圖，在MAABC中，ZACB=90°,AC=BC,。為斜邊A8上一動點(不與端點A,8重合)，以C

為旋轉中心，將逆時針旋轉90。得到CE,連接AE,BE,尸為AE的中點.

(1)求證：BEVAB-,

(2)用等式表示線段。，BE,CT三者之間數量關系，并說明理由;

3

(3)若CP=5，CD=5求tan/3CE的值.

25.如圖，AAOB和△COD都是以。為直角頂點的等腰直角三角形，連接AC,BD.

(1)如圖1,試判斷AC與8。的數量關系和位置關系，并說明理由.

圖1

(2)如圖2,若點。哈好在AC上，且。為AC的中點，AB=5求ABOD的面積.

(3)如圖3,設AC與即的交點為E,若AE=CE,ZAOD=60°,AB=4,求CD的長.

D

E.

B

圖3

專題01全等三角形中的手拉手旋轉模型

【模型展示】

E

特點

BeD

在線段BCD同側作兩個等邊三角形4ABC和4CDE,連接AD與BE。

(1)ABCE^AACD,ABCM^AACN,AMCE^ANCD

(2)AD=BE,ZAFB=60°

(3)AMCN為等邊三角形

結論

(4)MN/7BD

(5)CF為/BFD的角平分線

(6)FC+FE=FD

【模型證明】

???AABC^AECD為等邊三角形

解決方

案BC=AC,CE=CD,ZACB=ZECD=60°

?/ZACB=ZECD

:.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE

NBCE=NACD

在AABC與AECD中

BC=AC

<ZBCE=ZACD

CE=CD

AABC=AECD

?;ABCEvMCD

BE=AD

?/ABCE=AACD

:.ZCBE=ZCAD

?/ZCBM+ZBMC+ZBCM=180°

ZMAF+ZAMF+ZAFM=180°

ZBCM=180°-(ZCBM+ZBMQ

ZAFM=180°-(ZMAF+ZAMF)

???ZBMC=ZAFM

ZBCM=ZAFM=60°,即NAR3=60°

?/ABCM=AACN

CM=CN

?/ZMCN=60°

.?.△MCN為等邊三角形

?：AMCN為等邊三角形

NMNC=60°

???ZNCD=60°

:.ZMNC=ZNCD

:.MN//BD

過點C分別作PC1BE,QC1AD

?：ABCE=AACD

:.BC=AC,ZCBE=ZCAD

在MA3PC與MAAQC中

ZCBE=ZCAD

<ZBPC=ZAQC

BC=AC

RtbBPC蘭Rt/\AQC

在RfAPCR與RfAQCR中

PC=QC

FC=FC

RtAPCF=RtAQCF

即RC平分NBfD

在線段RDh截取FG=RE,連接EG

???FG=FE,NEFG=60°

.?.AER湃邊三角形

EF=EG,ZEGD=120°,ZEFG=60°

NCED=NEFG=60°

:.NFEC=NGED

在AEG。與公石口時

ZEGD=ZEFC

<EF=EG

NFEC=/GED

:.AEGD=AEFC

GD=FC

FD=FG+GD=EF+FC

【模型拓展】

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在AABC中，ZABC=9Q°,分別以AB,AC為邊作等邊和等邊AACE,

連結￡>E,若AB=3,AC=5,則￡D=()

B.2A/3C.4D.36

【答案】C

【分析】在RdABC中可直接運用勾股定理求出BC,然后結合“手拉手”模型證得

△ABC^^ADE,即可得至!j￡)E=3C,從而求解即可.

【詳解】解：在RdABC中，AB=3,AC=5,

，由勾股定理得：BC=4,

'：△ABD和AACE均為等邊三角形,

：.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=6Q°,

.\ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,

即：ZBAC=ZDAE,

在△ABC和△AOE中,

AB=AD

，ABAC=ZDAE

AC=AE

：.AABC^AADE（SAS）,

:.DE=BC=4,

故選：C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，掌握全等三角形的判定與性

質，熟練運用勾股定理解三角形是解題關鍵.

2.如圖，C為線段AE上一動點（不與點A,E重合），在AE同側分別作等邊三角形A3C

和等邊三角形C￡）E,AD與BE交于點。，與8C交于點P,BE與CD交于點、Q,連結

PQ.以下結論錯誤的是（）

A.ZAOB=60°B.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

【分析】利用等邊三角形的性質，BC//DE,再根據平行線的性質得到于

是ZAOB=/DAC+NBEC=/BEC+/DEO=ZDEC=6Q°，得出A正確；根據ACQB出△CPA

(ASA),得出B正確；由小ACD<ABCE得NCBE=/DAC,力口之/ACB=NDCE=60。,AC=8C,

得至lbCQBZZXCBl(ASA),再根據NPCQ=60。推出APC0為等邊三角形，又由

NPQC=/DCE,根據內錯角相等，兩直線平行，得出C正確；根據NCOE=60。，

ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,可知/OQE力/CZ)E,得出D錯誤.

【詳解】解：??,等邊△ABC和等邊△CDE,

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ABCD,即ZACD=ZBCE,

在A&。與4BCE中，

AC=BC

<NACD=ZBCE,

CD=CE

:.△ACD/4BCE(SAS),

ZCBE=ZDAC,

又：NACB=/DCE=60°,

AZBCD=60°,^ZACP=ZBCQ,

又???AC=BC,

在aCQB^LCPA中，

ZACP=ZBCQ

<AC=BC,

ZPAC=ZCBQ

:?△CQBQXCPA(ASA),

：.CP=CQ,

又???N尸CQ=60。可知△PC。為等邊三角形，

ZPQC=ZDCE=60°,

:?PQ〃AE,

故C正確，

：.AP=BQf

故B正確，

'：AD=BEfAP=BQ,

：?AD-AP=BE-BQ,

BPDP=QE,

???ZDQE=ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,/CDE=60。,

：.ADQEtACDE,故D錯誤；

ZACB=ZDCE=60°f

：.ZBC￡)=60°,

??,等邊△DCE,

ZEDC=60°=ZBCDf

：.BC〃DE,

：./CBE=/DEO,

：.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,

故A正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，利用旋轉不變性，解題

的關鍵是找到不變量.

3.如圖，在尺dABC和放△A0E中，ZBAC=ZDAE=90°fAB=AC=5,AD=AE=2f

點尸，Q,R分別是8C,DC,。片的中點.把△AOE繞點A在平面自由旋轉，則△尸QR的

面積不可能是()

A

RE

BPC

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】連接8ZXCE,3。的延長線交CE的延長線于。,AC交3。于H證明△BAD四△CAE,

然后可推出△「色?是等腰直角三角形，S〃PQR=1?尸。2,由AB=5,")=2可知39上7,

從而得到白3產匕7；那9么1?尸即49可得出答案.

228/8

【詳解】解：連接3。、CE,5。的延長線交CE的延長線于O,AC交B0于H.

*：AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAD=ZCAE,

.,.△BAD^ACAE,

:.BD=CE,/ABH=/0CH,

'：ZAHB=ZCHO,

：.ZO=ZBAH=90°,

??,點P,Q,/?分別是BC,DC,OE的中點，

：.PQ=^BD,PQ//BO,QR=；EC,QR//CO,

VBO±OC,

；.PQLRQ,PQ=QR,

???△尸。氏是等腰直角三角形，

:&PQR=gpQ2,

'：AB=5,AD=2,

：.3<BD<7,

：.APQR的面積不可能是8,

故答案為：A.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角

形的中位線定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.

4.如圖，在AABC中，AB^AC,點。、F是射線8C上兩點，且若AE=AD,

NBAD=NCAF=15°；則下列結論中正確的有（）

①CELBF；②△ABD四△ACE；③弘.。=S四邊磔力慮；@BC-^EF=2AD-CF

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】由ADLAF,ZBAD=ZCAF,得出/BAC=90。，由等腰直角三角形的性質得出

ZB=ZACB=45°,由SAS證得△ABD0Z\ACE(SAS),得出BD=CE,NB=NACE=45°,

SAABC=S四邊形ADCE,則NECB=90。，即EC_LBF,易證NADF=60。，ZF=30°,由含30。直角

三角形的性質得出EF=2CE=2BD,DF=2AD,貝l]BD=gEF,由BC-BD二DF-CF,得出BC4

EF=2AD-CF,即可得出結果.

【詳解】VAD±AF,ZBAD=ZCAF,

ZBAC=90°,

TAB二AC,

/.ZB=ZACB=45°,

在^ABD和^ACE中，

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

.'.△ABD^AACE(SAS),

BD=CE,NB=NACE=45°,SAABC=S四邊形ADCE，

???ZECB=90°,

AECXBF,

VZB=45°,ZBAD=15°,

ZADF=60°,

ZF=30°,

???EF=2CE=2BD,DF=2AD,

，BD=/EF,

,.,BC-BD=DF-CF,

.,.BC-|EF=2AD-CF,

①、②、③、④正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、含30。角直角三角

形的性質、外角的定義等知識，熟練掌握直角三角形的性質、證明三角形全等是解題的關鍵.

5.如圖，正AABC和正△CDE中，B、C、。共線，且5c=3CD,連接AD和仍相交于點

F,以下結論中正確的有（）個

①NA￡B=60。②連接尸C,則平分五O③BF=3DF@BF=AF+FC

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據“手拉手”模型證明ABCE均ACD,從而得到NCBE=ZCAD,再結合三角形

的外角性質即可求解=NACB=60。，即可證明①；作CMJL砥于〃點，CNLAO于

N點，證明ACENZACDN,結合角平分線的判定定理即可證明②；利用面積法表示功行

和AOb的面積，然后利用比值即可證明③；利用“截長補短”的思想，在AD上取點Q,使

得FC=FQ,首先判斷出A/C。為等邊三角形，再結合“手拉手”模型推出ABCP/AACQ即

可證明④.

【詳解】解：①:△ABC和△（?￡見均為等邊三角形，

ZACB=ZECD=60°,AC^BC,EC=DC,

：.ZACB+ZACE=/ECD+ZACE,

NBCE=ZACD,

在ABCE和八4。￡>中，

BC=AC

<ZBCE=ZACD

EC=DC

：.ABCE、ACD（SAS）,

：.NCBE=NCAD,

；ZAFB=NCBE+NCDA,ZACB=ZCDA+ZCAD,

：.ZAFB=ZACB^^）°,故①正確；

②如圖所示，作CMJ_BE于〃點，CNLAD于N點、,

則NCME=NCWD=90°,

?：ABCE'ACD,

：.NCEM=NCDN,

在△CEM和ACDN中,

ZCME=ZCND

<NCEM=ZCDN

CE=CD

：.△CEMQACDN(AAS),

：.CM=CN,

???C/平分N5FD,故②正確；

③如圖所示，作FPLa)于尸點，

??

.,△oScrBCF2=-BF2.CM=-BCFP,S2nrF=-DF.C2N=-CD.FP,

c-BF.CMLBC.FP

?TBCF_2________2_____

,?S~1-1，

'△DCF-DF^CN—CD?FP

22

,:CM=CN,

整理得：—,

DFCD

,:BC=3CD,

?.?-B-F=-3-C-D=5c,

DFCD

：?BF=3DF,故③正確；

④如圖所示，在AO上取點。，使得FC=FQ,

ZAFB=ZACB=60°fCF平分ZBFD,

：.ZBFD=120。，/CFD=-ZBFD=60°,

2

???△尸。。為等邊三角形，

AZFCQ=60°,CF=CQ,

'：NACB=60。，

ZACB+ZACF=ZFCQ+ZACF,

.?.ZBCF=ZACQ,

在△BCF和△ACQ中，

BC=AC

ZBCF=ZACQ

CF=CQ

^BCF^ACQ(SAS),

/.BF=AQ,

VAQ=AF+FQ,FQ=FC,

：.BF=AF+FC,故④正確；

綜上，①②③④均正確；

故選：A.

【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等，理解等邊三角形

的基本性質，掌握全等三角形中的輔助線的基本模型，包括“手拉手”模型，截長補短的思想

等是解題關鍵.

6.如圖，點C是線段AE上一動點(不與A,E重合)，在AE同側分別作等邊三角形ABC

和等邊三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接

PQ,有以下5個結論：①AD=BE；②PQ〃AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤NAOB=60。.其

中一定成立的結論有()個

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①由于△ABC^ACDE是等邊三角形，可知AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

從而證出△ACDgZiBCE,可推知AD=BE；

③由△ACD四4BCE得NCBE=/DAC,力口之NACB=/DCE=60。，AC=BC,得到

△ACP^ABCQ(ASA),所以AP=BQ；故③正確；

②根據②△CQBgACPA(ASA),再根據/PCQ=60。推出△PCQ為等邊三角形，又由

ZPQC=ZDCE,根據內錯角相等，兩直線平行，可知②正確；

④根據/DQE=/ECQ+/CEQ=6(T+/CEQ,ZCDE=60°,可知/DQE熱/CDE,可知④錯

誤；

⑤利用等邊三角形的性質，BC//DE,再根據平行線的性質得到/CBE=/DEO,于是

/AOB=/DAC+/BEC=/BEC+/DEO=/DEC=60。，可知⑤正確.

【詳解】①：等邊4ABC和等邊△DCE,

；.BC=AC,DE=DC=CE,/DEC=/BCA=/DCE=60。,

：.ZACD=ZBCE,

在仆ACD和^BCE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,DC=CE,

/.△ACD^ABCE(SAS),

/.AD=BE；

故①正確；

③?.?△ACDgABCE(已證)，

/CAD=/CBE,

/ACB=/ECD=60°(已證)，

/BCQ=180°-60°x2=60°,

/.ZACB=ZBCQ=60°,

在△ACP與ABCQ中，

ZCAD=ZCBE,AC=BC,ZACB=ZBCQ=60°,

.,.△ACP^ABCQ(ASA),

；.AP=BQ；

故③正確；

(DVAACP^ABCQ,

；.PC=QC,

APCQ是等邊三角形，

/.ZCPQ=60°,

ZACB=ZCPQ,

：.PQ〃AE；

故②正確；

④：AD=BE,AP=BQ,

.,.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

/DQE=/ECQ+/CEQ=60°+/CEQ,/CDE=60°,

/DQErNCDE,

.,.DE#QE,

則DP，DE,故④錯誤；

⑤：ZACB=ZDCE=60°,

.\ZBCD=60°,

?.,等邊△DCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

；.BC〃DE,

.".ZCBE=ZDEO,

-,.ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°.

故⑤正確；

綜上所述，正確的結論有：①②③⑤，錯誤的結論只有④，

故選D.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，以及等邊三角形的判定和性質，此圖形是典型

的“手拉手”模型，熟練掌握此模型的特點是解題的關鍵.

二、填空題

7.如圖，△ABD、△CDE是兩個等邊三角形，連接BC、BE.若NDBC=30。，BD=6,

8c=8,貝l|BE=.

【答案】BE=10

【分析】連接AC,根據題意易證△ACD之△BED(SAS),根據全等三角形的性質可得AC=BE,

再根據勾股定理求出AC的值即可得出結論.

【詳解】如圖，連接AC,

「△AB。、△CDE是兩個等邊三角形,

；.AB=BD=AD=2,CD=DE,ZABD=ZADB=ZCDE=60,

ZADB+ZBDC=ZCDE+ZBDC,

，NADC=NBDE,

AD=BD

在4ACD與公BDE中，ZADC=ZBDE,

CD=DE

.'.△ACD^ABED(SAS),

；.AC=BE,

,/ZDBC=30°,

ZABC=ZABD+ZDBC=60°+30°=90°,

在RtAABC中，AB=6,BC=8,

AC=AB2+BC2=A/62+82=10，

，BE=10,

故答案為：10.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，孰練的掌握

知識點是解題關鍵.

8.如圖，△ABC中，/C=90。,AC=BC=夜，將445c繞點A順時針方向旋轉60。到小AB'C

的位置，連接BC,8C的延長線交A8于點。，則8。的長為.

【答案】V3

【分析】連接32'，根據旋轉的性質可得判斷出△ABB'是等邊三角形，根據等邊

三角形的三條邊都相等可得然后利用“邊邊邊”證明△ABC和全等，根據

全等三角形對應角相等可得因7,延長BC咬4夕于根據等邊三角形的性質

可得利用勾股定理列式求出A8,然后根據等邊三角形的性質和等腰直角三角形

的性質求出BD.

【詳解】解：如圖，連接8月，

B'

D

BS--------------DC

1/AABC繞點A順時針方向旋轉60。得到△AB'C,

：.AB=AB',NBAS'=60°,

.?.△AB用是等邊三角形，

在△48。和4"BC中，

AB=BB'

<AC'=B'C,

BC'=BC

.,.△ABC'必△B'BC'(SSS),

；.NABC=/B，BC=30。,

延長8。交A9于Z),

則BDLAB',

VZC=90°,AC=BC=y[2,

；.AB=何+(用=2=AB\

.,.AD=—AB=1

2

?*-BD=7AB2-AD2=A/3，

故答案為：出

【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，等

腰直角三角形的性質，作輔助線構造出全等三角形并求出在等邊三角形的高上是解題的

關鍵，也是本題的難點.

9.如圖，A4BC是邊長為5的等邊三角形，BD=CD,ZBDC=120°.E、/分別在A3、

AC上，且/￡1加=60。，則三角形AEF的周長為.

BC

D

【答案】10

【分析】延長AB到M?BN=CF,連接Z)N,求出//8=/仍0=/g。=90。，根據SAS

證△N302△/CO,推出。N=O尸，/NDB=NFDC,求出NEDF=NEDN,根據SAS證

△EDF/AEDN,推出EF=EN,易得△AEb的周長等于A3+AC.

【詳解】解：延長A3到N,使BN=CF,連接ON,

,?.△ABC是等邊三角形，

???ZABC=ZACB=60°,

■;BD=CD,ZBDC=120°,

：.ZDBC=ZDCB=30°,

：.ZACD=ZABD=300+60°=90°=ZNBDf

???在△NB。和△bCO中，

BD=DC

<ZNBD=ZFCD,

BN=CF

:?△NBD"AFCD(SAS),

:?DN=DF,/NDB=/FDC,

'：ZBDC=nO°,ZEDF=60°,

O

：.ZEDB^-ZFDC=609

：./EDB+/BDN=60°,

即/EDF=NEDN,

在4磯加和^EC正中，

DE=DE

NEDF=NEDN,

DN=DF

：.AEDN^/XEDF（SAS）,

EF=EN=BE+BN=BE+CF,

即BE+CF=EF.

「△ABC是邊長為5的等邊三角形，

：.AB=AC=5,

'：BE+CF=EF,

：./\AEF的周長為：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10,

故答案為：10.

【點睛】本題考查了等邊三角形性質和判定，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，全

等三角形的性質和判定的綜合運用.注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用.

10.如圖,C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE,

AD與BE交于點O,AD與BC交于點、P,BE與CD交于點、Q,連接P。.以下五個結論：

?AD=BE-?PQ//AE；?AP=BQ；@DE=DP；⑤NAO8=60。.恒成立的結論有.（把

你認為正確的序號都填上）

【答案】①②③⑤

【分析】根據等邊三角形的性質及SAS即可證明；根據全等三角形的性質證明AMCN為等

邊三角形，再證明△ACD注△BCE即可求解.

【詳解】解：①△ABC和ADCE均是等邊三角形，點A,C,E在同一條直線上，

：.AC=BC,EC=DC,ZBCE^ZACD=12.Q°

：.AD=BE,故本選項正確，符合題意；

②；AACDWAECB

：.ZCBQ=ZCAP,

X?/ZPCQ=ZACB=60°,CB=AC,

型△ACP,

/.CQ=CP,

又NPCQ=60。，

...△PC0為等邊三角形，

ZQPC=60°=ZACB,

：.PQ//AE,故本選項正確，符合題意；

③：ZACB=ZDCE=6Q°,

：.ZBCD=60°,

：.NACP=/BCQ,

'：AC=BC,ZDAC=ZQBC,

：./\ACP^/\BCQCASA),

：.CP=CQ,AP=BQ,故本選項正確，符合題意；

④已知△ABC、AOCE為正三角形，

故/QCE=NBCA=60°0N0cB=60°,

又因為/r>PC=NZ)AC+NBC4,ZBCA=60°^>zDPC>60°,

故DP不等于OE,故本選項錯誤，不符合題意；

⑤「△ABC、ADCE為正三角形，

ZACB=ZDC￡=60°,AC=BC,DC=EC,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：./ACD=NBCE,

:.AACD安ABCE(SAS),

：.ZCAD=ZCBE,

ZAOB=ZCAD+ZCEB=ZCBE+ZCEB,

ZACB=ZCBE+ZCEB=60°,

：.ZAOB=60°,故本選項正確，符合題意.

綜上所述，正確的結論是①②③⑤.

三、解答題

11.如圖，AACB和&ECD都是等腰直角三角形，C4=CB,CD=CE,AACB的頂點A在^ECD

的斜邊￡>E'上，連接

CB

（1）求證：BD=AE.

（2）若AE=3cm,AD=6cm,求AC的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）AC='?cm.

2

【分析】（1）根據同角的余角相等得出/BCD=/ACE,然后根據SAS定理證明

△BCD^AACE,從而得出結論；

（2）根據全等三角形的性質得出/BDC=/AEC,然后結合等腰直角三角形的性質求得

NBDA是直角三角形，從而利用勾股定理求解.

【詳解】（1）,??△ACB和△￡￡￡）都是等腰直角三角形，

ZACB=ZECD=90°,

：.ZACD+/BCD=90°,ZACD+ZACE=90°,

ZBCD=ZACE,

在△3CD和AACB中，

CB=CA

</BCD=NACE

CD=CE

：.NBCD^ACE（SAS）,

；?BD=AE.

（2）VABCD^AACE,

???ZBDC=ZAEC,

又???是等腰直角三角形，

/CDE=NCED=45。,

：.ZBDC=45°,

：.ZBDC+ZCDE=90°,

是直角三角形，

AB2=BD2+AD2=AE2+AD1=32+6?=45,

在等腰直角三角形AC3中，

AB2=AC2+BC2=2AC2,

2

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵.

12.如圖，A、B、C在同一直線上，且AABD,ABCE都是等邊三角形，AE交BD于點

M,CD交BE于點N,MN/7AC,求證：

（1）ZBDN=ZBAM；

（2）ABMN是等邊三角形.

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）證明過程見詳解。

【分析】（1）只需要證明AABEgADBC,就可以得到=

（2）N￡>BA=NE5C=60°,因為MN〃AC,所以NM7VB=NN3C=60°,NNMB=NMBA=6?,

所以ABMV是等邊三角形.

【詳解】證明：（1）;NEBC=NABD=60°

：.ZDBC=ZABE

在AD8N、中

DB=AB

<ZDBC=ZABE

BC=BE

：.AABE絲NDBC

：.ZBDN=ZBAM

（2）"JADBA=AEBC=60°,MN//AC,

NMNB=NNBC=6?,

/NMB=NMBA=6S,

所以ABMN是等邊三角形.

【點睛】這是一個典型的手拉手模型，是初中幾何必會的模型之一，兩個60。的三角形是等

邊三角形.

13.如圖1,B、C、。三點在一條直線上，與3E交于點O,△ABC和△ECD是等邊三

角形.

（1）求證：XACD義XBCE；

⑵求N8。。的度數；

（3）如圖2,若8、C、。三點不在一條直線上，/BOO的度數是否發生改變？（填

“改變”或“不改變”）

【答案】（1）證明見解析

（2）ZBO￡>=120°

⑶不改變，理由見解析

【分析】（1）根據“SAS”證明△Aco絲ZYBCE即可;

(2)由全等三角形的性質得NAOC=N3EC,再由三角形的外角性質得NAO5=60。，即可

求解；

(3)同(1)得：△ACO也△BCE,得出ND4C=NE3C,根據三角形外角求出NAOEM20。，

即可得出答案.

(1)

證明：:△ABC和△ECO是等邊三角形，

ZACB=ZECD=60°,BC=AC,EC=CD,

：.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

在△BCE和△ACO中

BC=AC

|ZBCE=ZACD,

CE=CD

：.ABCE^AACD(SAS).

(2)

解：VABCE^AACZ),

J/ADC=/BEC,

'：ZAOB=ZEBC+ZADC,

：.ZAOB=ZEBC+ZBEC=Z￡>CE=60°,

NAO8+N5OD=180。，

ZBOD=120°.

(3)

解：不改變，理由如下：

同(1)得：△ACO2△3C￡(SAS),

：.ZDAC=ZEBC,

,/ZAOE=ZABO^-ZOAB

=ZABO+ZDAC+ZBAC

=ZABO+ZEBC+ZBAC

=ZABC+ZBAC

=120°

JZBOD=ZAOE=120°,

即N30。的度數不改變.

故答案為：不改變.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，等邊三角形的性質，三角形外角的性質，

對頂角性質，證明△ACO且△BCE是解題的關鍵.

14.在AAEB和△DEC中，AC、3。相交于點尸，AE、8。相交于點0,AE=BE,DE=CE,

ZAEB=ZDEC.

⑴求證：AC=BD；

(2)求證：ZAPB=ZAEB.

【答案】(1)見解析

⑵見解析

【分析】(1)先證/2EZANAEC,再利用SAS證明三角形全等即可；

(2)由全等可得/EBD=/E4C,根據三角形內角和和/^。后乙^^即可證明.

(1)

證明：VZAEB=ZDEC,

：.ZAEB+ZAED=ZDEC+ZAED,

：.ZBED=ZAEC,

在^BED與△AEC中，

AE=BE

<ZAEC=/BED

DE=CE

:.ABED<4AEC(SAS),

：.AC=BD.

(2)

證明BE。之△AEC,

ZEBD=ZEAC,

'：ZEBD+ZBOE+ZAEB=ZAOP+ZAPB+ZEAC=180°,

又,：/BOE=/AOP,

：./AEB=/APB.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定方法有：SSS,ASA,SAS,

44S和HL熟練掌握判定方法是解題的關鍵.

15.△478和4OCE是共頂點C的兩個大小不一樣的等邊三角形.

(1)問題發現：

如圖1,若點A,D,E在同一直線上，連接AE,BE.

①求證：XACD^^BCE；

②求/AEB的度數.

⑵類比探究：如圖2,點8、D、E在同一直線上，連接AE,AD,BE,CM為ADCE中DE

邊上的高，請求的度數及線段DB,AD,之間的數量關系，并說明理由.

(3)拓展延伸：如圖3,若設(或其延長線)與BE的所夾銳角為a,則你認為a為多少度，

并證明.

【答案】⑴①見解析；②N4班=60。；

⑵乙位＞2=60。，2DM+BD=AD,理由見解析；

(3)ot=6O°,證明見解析

【分析】(1)①由△ACB和△DCE是等邊三角形知AC=BC,