2025年高考第二次模擬考試

高三數學(新八省通用)01?全解全析

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合幺=卜卜>-石},5={-1,-2,-3},則2口3=()

A.{-1}B.{-1,-2}C.{-3}D.{-1,-2,-3}

【答案】B

【解析】由-1>-石、-2>-V5,-3<-V5,故/Pl8={-1,-2}.故選：B.

2.)=2singx+gJ的最小正周期為()

A.RB.2nC.37rD.4it

【答案】D

__2兀_“

【解析】函數的最小正周期一丁一“兀，故選:D.

2

3.若z(l+2i)=3+4i,則同=()

A.2B.VsC.3D.5

【答案】B

【解析】因為同=忖=|爵卜普故選：B

4.已知向量5=(1,—1)￡=(—1,2),貝！)(2萬+司石二()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】?."=(1,-1)石=(一1,2),/.25+6=(1,0),(25+6)-^=lx(-l)+0x2=-l,故選4

22

5.設雙曲線=-5=1（。＞0）＞0）的一個頂點坐標為（-四,0）,焦距為2?,則雙曲線的漸近線方程為

ab

（）

A.y=±4ixB.y=±2x

1萬

C.y=±-xD.y=±—x

22

【答案】D

22

【解析】雙曲線■-看=1中，半焦距為百，即'=百，

ab

又雙曲線一個頂點坐標為（-行,0）,即0="2-4=J（6）2_加=6,解得6=1，

所以雙曲線的漸近線方程為y=士咚x.故選：D.

6.已知一個圓錐的底面圓半徑為1,其側面展開圖是一個圓心角為胃的扇形，則該圓錐的體積為（）

【答案】D

【解析】設圓錐的母線長為/,高為力，則?=2兀，解得/=3,所以/7=6。=20,

所以圓錐的體積「」兀xFx20=3色.故選：D.

33

。71

7.在ZUBC中，若。2=(。-6y+6,且C=§,則ZUBC的面積為()

A.3^3B.也C.-D.芭

222

【答案】D

【解析】由/=(a—Z?)2+6=>a2+Z?2-c2=lab—6=2a6cosm=>ab=6,

^LS=-absinC=-x6x—=—,故選D

ABcC2222

8.已知a,bwR且仍wO,若(％-。)(*-6)(%-2。-6)20在》20上恒成立，貝1J()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>Q

【答案】C

［解析］由abw0得aw0,bw0,f^x^—^x-a^x—b^x—2a-b^—Q^>xi-a,x2—b,x3—2a+b

①若。>0,6>0,貝！）2Q+6>0,且2〃+6>Q,2a+b>b9

根據穿根法可知xe(a,2a+6)或xe(6,2a+6)時不符合題意，舍去；

②若。>。,6<0,要滿足題意貝1|a=2a+6>6na+b=0,符合題意，如圖所示;

③當a<0,b>0時，同理要滿足題意需2cz+6=6>ana=0,與前提矛盾；

④當。<0,6<0,此時2a+6<0,則/(x)=(x-a)(x-6)(x-2a-6)的三個零點都是負數，由穿根法可知符

合題意；

綜上可知滿足(欠-4)(%-6)(》-2"6”0在,0恒成立時，只有6<0滿足題意.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.以下繩結，拉伸兩個端頭繩子會打結的是()

【答案】ACD

【解析】繩子A的判斷：對于繩子A,其纏繞方式使得在拉伸兩個端頭時，中間部分會因為繩子的交叉纏

繞而形成一個結；

繩子B的判斷：繩子B在拉伸兩個端頭時，繩子可以順利地被拉直，不會出現打結的情況，因為其纏繞方

式并沒有形成閉環式的交叉；

繩子C的判斷：繩子C的纏繞結構決定了在拉伸兩個端頭時會形成結，其交叉和纏繞使得在拉伸時必然會

有部分繩子形成閉環結；

繩子D的判斷：繩子D在拉伸端頭時，會因為其復雜的纏繞而形成結，繩子中間部分會收緊成結，故選

ACD.

10.已知拋物線C:/=4了的焦點為尸，。為坐標原點，點在拋物線。上，若|阪|=5,則()

A.尸的坐標為(1,0)B.%=4

C.|OM|=2V5D.S,OFM=2

【答案】BD

【解析】由拋物線C：，=4y,可得〃=2,所以]=1,且焦點在j軸正半軸上，

則焦點/(01)，所以A錯誤；

由拋物線的定義，可得|3卜為+1=5,解得％=4,所以B正確；

由%=4,可得君=16,所以%=±4,則|0叫==40,所以C不正確；

由S囪M=g|。斗同=2,所以D正確.

故選：BD.

H.詞函數是一個在生物學中常見的S型函數，也稱為S型生長曲線，常被用作神經網

絡的激活函數.記S'(x)為Sigmo/函數的導函數，則()

A.S[x)=S(x)[l-S(x)]B.Sigvzo詞函數是單調減函數

C.函數岸(力的最大值是]D.Z[S(A)+S(-L)]=2023

4k=0

【答案】ACD

【解析】由函數S(X)=T■二求導得：S，(x)=〃、，

對于A,S(x)[l-S(x)]=丁J?”/J]=—K=S〈X),A正確；

L」1+e1+e(1+ex)

e-x

對于B,VXGR,SG)=(]+e-xy〉0,則與g而。2函數是單調增函數，B不正確；

X

Q~][I

對于c,SG)=TH=已不3/),當且僅當e、=e，即x=0時取“=”，C正

l+2e77+ee+e+22\e-e+24

確；

110X12022

對于D,因S(x)+S(-x)=—=貝!JZ[S,)+S(-A)]=2O23,D正確.故選ACD

1+ex1+e"l+eA1+e"k=o

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若〃x)=4>貝i]/(k>g23)=.

【答案】9

【解析】由〃司=4)可得/(log?3)=4臉3=02)啕3=2?%3=2喻9=9.

13.在某次國際商貿交流會展期間，舉辦城市為了提升安保級別，在平時正常安保的基礎上再將甲、乙等6

名特警人員分配到展區附近的4個不同的路口進行執勤，若每個特警只能分配去1個路口且每個路口至少

安排1名特警，則甲和乙不安排在同一個路口執勤的概率是.

【答案】《

「2r2

【解析】6名特警分配到展區附近的4個不同的路口進行執勤，不同安排方法數為(C：+、)A：,

A?

甲乙安排在同一路口，視甲乙為一個人，5個人安排到4個路口的安排數為C；A"

102

因此甲和乙安排在同一個路口執勤的概率是c|2G)A4

65

A：

211

所以甲和乙不安排在同一個路口執勤的概率是1-石=行.

<0,

14.已知函數g(x)=a—x2—2x,〃)=,、、八且函數>=段)一x恰有3個不同的零點，則實數a的取

g(x-l),x>0,'

值范圍是

【答案】卜1,0)

a-x2-2x,x<0，/、a-x2-3x,x<0

【解析】由/(》)=--+1,々。得："X)T=

a-x-x+l,x>0

一丫2—3YX<0

可得/(x)—x=〃+2、八，所以J=/(x)—x有三個零點等價于

—x—x+l,x20

x2+3x,x<0人一一一—

y=a^yf+1心。有三個不同交點.

x2+3x,x<0

令h(x)=

x2+x-\,x>O'

畫出的圖象如圖所示，將水平直線y=a從上向下平移，當。=0時，有兩個交點，再向下平移，有

三個交點，當。=一1時，有三個交點，再向下就只有兩個交點了，因此ae[T,O).

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(本小題滿分13分)“一帶一路”是促進各國共同發展，實現共同繁榮的合作共嬴之路.為了了解我國

與某國在“一帶一路”合作中兩國的貿易量情況，隨機抽查了100天進口貿易量與出口貿易量(單位：億元

人民幣/天)，整理數據得下表:

出口貿易量

進口貿易量[0,50](50,100](100,150]

[0,50]32184

(50,100]6812

(100,150]3710

(1)用頻率估計概率，試估計事件“我國與該國貿易中，一天的進口貿易量與出口貿易量均不超過100億元人

民幣''的概率.

(2)根據所給數據，完成下面的2x2列聯表.

出口貿易量

進口貿易量[0,100](100,150]

[0,100]

(100,150]

(3)依據a=0.01的獨立性檢驗，能否認為我國與該國貿易中一天的進口貿易量與出口貿易量有關?

附：________

n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

【解】(1)解：由題表中的信息可知,

在這100天中，進口貿易量與出口貿易量均不超過100億元人民幣的天數為32+18+6+8=64,

用頻率估計概率，可得所求概率「=需=11

(2)列出2x2列聯表如下:

出口貿易量

進口貿易量(100,150]

[0,100]

[0,100]6416

(100,150]1010

(3)零假設為我國與該國貿易中一天的進口貿易量與出口貿易量無關.

由⑵得100x(64x10-16xl0『

?7.484>6.635=x>

80x20x74x26001

所以依據a=0.01的獨立性檢驗，推斷〃。不成立，即認為我國與該國貿易中一天的進口貿易量與出口貿易

量有關

16.(本小題滿分15分)已知在正項數列｛%｝中，首項%=2,點4m在雙曲線V-x?=1上，數列

也｝中，點電￡)在直線y=-gx+l上，其中北是數列色｝的前〃項和.

(1)求數列｛2｝、也｝的通項公式；

(2)求使得|北-1|〈嬴成立〃的最小值；

(3)若的=。,也，求證：數列｛c“｝為遞減數列.

【解】⑴點4(保向?)在雙曲線」-支=1上,

%+「%=1,｛““｝是以2為首項，公差為1的等差數列,

■-a?=?+1；點電,北)在直線y=-gx+l上，

112

北=一54+1,當”=1時，7；=^1=--6!+!,.,?^1=-,

當〃22時，+；%,?.?bn=%-,

420,;.6./0,;.裊=；,

“t3

「?｛4｝是以(2為首項，公比為31的等比數列，.也=2?.

解得〃>6,成立"的最小值為7.

a

(3)c?~?'bn-——,

__2(〃+2)_2(〃+1)_-2(2〃+1)

c”+i3"+i3”3'"i<r

■-cn+l<c?,所以數列｛c,｝為遞減數列.

17.(本小題滿分15分)已知函數〃x)=axln(l+x)+x.

⑴求曲線”〃x)在點(0J(0))處的切線方程；

⑵若0是函數g(x)=e，-/(目的極小值點，求實數。的取值范圍.

【解】(1)由〃x)=axln(l+x)+x,xe(-l,+oo),

y

則/''(x)=aln(x+l)+—+1,

所以/'(0)=1,即切線斜率為1,

又/(0)=0,則切點為(0,0),切線方程為y=x,

所以曲線尸/(x)在點(oj(o))處的切線方程為kx.

(2)根據題意得,g(x)=ex-oxln(x+l)-x,

貝!|g'(x)=eX_]_Qln(x+l)H----.

由0為g(x)的極小值點,可知g'(O)=O.

x

設力(x)=g'(x)=e"-l-Qln(x+l)+------,x>-1,

x+1

x+2

則〃(x)=e"，〃⑼=1-2a

(x+廳

(i)當aWO時，〃(x)>0,

所以g'(x)在(T+向上單調遞增,又g'(o)=o,

所以當xe(-l,o)時,g<x)<0,g(x)單調遞減；

當xe(O,+⑹時，g-(x)>0,g(x)單調遞增，

所以0是g(x)的極小值點，符合題意.

(ii)當0<a<g時，設加(x)="(x),

貝!1加(x)=e+J吊>0,

(x+1)

,

所以“(x)在(-1,+8)上單調遞增，/I(0)=l-2a>0,

1+2

-a^~2<l-^+l)^-Va<0;

-i+i)

所以存在國e(-1,0),使得〃'(xj=o,

所以當時，h'(x)<0,〃(x)單調遞減,即g'(x)單調遞減;

當xe(x],+co)時，〃(x)>0,%(無)單調遞增，即g'(x)單調遞增.

又g'(o)=o,

所以當xe(國,0)時,g,(x)<0,g(x)單調遞減；

當x?0,+功時,g,(x)>0,g(x)單調遞增,

所以0是g(x)的極小值點，符合題意.

(iii)當時，"(0)=0,且"(X)在(-1,+8)上單調遞增，

所以當xe(-l,0)時，h'(x)<0,力卜)單調遞減，即g'(x)單調遞減；

當xe(0,+co)時，//(x)>0,單調遞增，即g'(x)單調遞增.

又g，(0)=0,所以g'(x)2g，(O)=O,g(x)單調遞增，不符合題意.

(iv)當。>!■時，〃'(0)<0,“0)在(一1,+8)上單調遞增，〃'(ln2")>e""-2a=0,

所以存在X2?01n2a),使得“仁)=0,

所以當x?Tx2)時,h'(x)<0,g'(x)單調遞減，又g，(0)=0,

所以當xe(-l,0)時，g,(x)>0,g(x)單調遞增；

當xe(0/2)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減.

所以。是g(x)的極大值點，不符合題意.

綜上，〃的取值范圍是卜

18.(本小題滿分17分)已知￡,與分別為橢圓C:[+；=l(a>6>0)的左、右焦點，42分別為橢圓C的

左、右頂點，P(%o，y0)為橢圓。上的動點，過動點P(%o，yo)作橢圓。的切線?分別與直線》=一3和x=3相交于

2c兩點，四邊形488的對角線NC8。相交于點”，記動點M的軌跡為￡.

(1)證明：橢圓C在尸點處的切線方程為茅+牛=1.

(2)求動點M的軌跡E的方程.

(3)過點N(2,0)作斜率不為0的直線/與￡相交于點凡S,直線NR與BS的交點為Q,判斷點。是否在定直

線上.

■V?.3]

94一’

【解】(1)證明：聯立方程組

x2/

—+—=1

I94

,2、，2、"A，22

消去y整理得今+條■x2又江+區=1,

(J3o6ol794

d-4x+或=0,

即n-----

98199

整理得(XT。);。，解得X=X。，

所以直線茅+牛=1與橢圓]+]=1有且僅有一個交點尸(出,%)，

即切線方程為誓+#=1.

94

(2)解：由(1)中切線方程，令x=-3,得。卜3,經產)，

令x=3,得

I3%)

因為/(-3,0),所以直線/。：了=導風(》+3),①

因為8(3,0),所以直線M?：y=dq%(x-3),②

一加

由①X②得/=牛孝1一9).

-81%

因為宣+且.=1,得說=4一強=迎出，

9499

所以動點M的軌跡￡的方程為3■+/=1(>30).

(3)解：設直線/的方程為一可+2,尺(陽,外),$(%2，%),

聯立方程組匕2，得(療+為/+45=0,

[x+9y=9,\)

—4加—54

貝!)%+%=—^^iy=-?所以必+%==加乂%?

m+92m+9n5

因為直線AR的方程為V=9(x+3),直線8S的方程為y=^-(x-3),

所以7^(X+3)=7^(X_3),所以一一^x=^-+^-,

演+3x?—3—3再+3)西+3%2—3

所以——匚卜=3^+口^

(my2-1myx+5)myx+5my2-1

15945

整理得（5%+%）x=6孫%-3弘+15%=萬（必+%）-3%+15%=5乂+彳%，

且存在實數4使麗=彳而，沿即將△/￡尸向上折起得到△尸斯，使得平面尸即1.平面2CDE凡如圖2

所示.

(1)若AFLPD,設三棱錐P—2C。和四棱錐尸一AD斯的體積分別為匕，匕，求J；

(2)當點E的位置變化時，平面EP尸與平面3打'的夾角(銳角)的余弦值是否為定值，若是，求出該余弦

值，若不是，說明理由；

(3)若48=2,求四棱錐P-BDEF的外接球半徑的最小值.

【解】(1)在圖2中，取E尸中點O,5。中點M,連接OP,OM,以。為原點，OF、OM,。尸所在直線

分別為X、八z軸，建立空間直角坐標系，

設N8=4、OP=x,貝！l（W=2g-x,0F=

.?.8(2,2石-蒼0),尸[5，0,0),P(O,O,x),D(-2,2V3-x,0),

故麗=卜2,26一旃=]5一2,x—2.o],

,直線RF與PZ>垂直，PDBF=O,

二/-?x+8=O,解得x=￡(舍)或X=A=￥^,

：.PO=1OM,：.AE=2ED,

圖中點E在靠近點D的三等分點處.

SBDEE_‘BDEF=g.Jj__SRCD_9

二一二一§