貴州省畢節市2025屆高三第一次診斷性考試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={x|0<x<a},2=卜卜243尸2},若/口8=8,則實數4的取值范圍為()

A.(-8,2]B.(-8,2)C.(2,+oo)D.[2,+oo)

2.已知復數z滿足zi=l+i,且z是關于x的方程/+8：+1=0的一個根，則實數p,q的

值為()

A.夕=2,q=2B.p=-2,q=2C.p=2,q=-2D.p=-2,q=-2

3.已知等差數列{%}的前〃項和為S",等比數列也}的前〃項積為小4=6,d=T，

則S“+工i=()

A.32B.34C.65D.67

[2

4.已知cos(a+/?)=歷，tanatan/3=—,則cos(a-夕)=()

(11「11

A.—B.—C.—D."

5016102

5.某學校開設了6門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這10門課中選修3門課

進行學習，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案種數是()

A.96B.116C.120D.192

6.已知定義域為R的奇函數/(x)滿足+=且xe(O,l]時，/(x)=|x+1,

則的值為(

A.-1

7.已知點M是拋物線C:/=8x上的一點，過點河作。￡:/+5-8)2=4的一條切線，P

為切點，點M在C的準線/上的射影為點D.當E,。三點共線時，\PM\=()

A.2用B.25/17

—x—2x+3,x〈0-，2,

8.若函數〃x)=，,,，則函數尸r[/(x)]--5〃x)+6的零點個數為(

試卷第1頁，共4頁

A.5B.6C.7D.8

二、多選題

9.已知隨機變量X、丫分別服從正態分布和二項分布，即X~N(3,2),丫~8卜；］,則下

列選項正確的是()

A.P(XV3)=；B.E(x)=E(y)c.￡>(x)=z)(y)D.P(y=l)=|

10.已知函數f(x)=sin［；+x］sin［；-x)+6sinxcosx,貝I］()

?才

B./(x)的圖象的一個對稱中心為

C./(x)的單調遞增區間是-H+2E，K+2A71,kwZ

jr

D.當/(ox)在0,%上的最大值為1時，正實數。的最小值為1

H.棱長為1的正方體/BCD-44GA中，M是正方形4耳?。內(包括邊界)一動點，

下列結論中正確的是()

A.若收，4。，則W點的軌跡是一條線段，且長度為e

B.若㈤/=5，則M點的軌跡是一個圓的四分之一

C.記與正方體相鄰的三個側面所成的角分別為a,P，7,則

cos2a+cos2p+cos27=2

D.若與以正方體中心為球心半徑為0.1的球相切，則M點的軌跡是一個橢圓

三、填空題

12.函數y=ln(-￡+2x+3)的定義域為.

13.已知正方形/BCD的邊長為2,且麗=2①，樂.麗=2，貝12=.

22

14.已知橢圓C:5+與=1(“>6>0)與平行于x軸的直線/交于M,N兩點，點M在點N

ab

的左側，橢圓C的左焦點為R①若"F"LAW且跖VI,則橢圓。的離心率是:

②若橢圓。的離心率為e,在線段7W上取點力,使得|松|=|/弘連接M4并延長交x軸

試卷第2頁，共4頁

于點5,則e?房的值是----------

四、解答題

15.在VN8C中，內角/,8,C所對的邊分別為a,6,c,向量加=(。,-26),M=(2sinS,V3cos,

且加_L〃?

⑴求角/;

(2)若VN8C的面積為百，求。的最小值.

16.已知函數/(x)=e[a/+(a-5)x+l],且曲線y=〃x)在點尸(1J。))處的切線與直線

1:4ex+》+2=0平行.

⑴求曲線＞=/")在點尸(1,/。))處的切線方程;

(2)求函數/(x)的單調區間和極值.

17.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，P/_L底面4BCD,底面/BCD是菱形，點￡是尸〃的中

點，且.

⑴求證：尸8〃平面NCE；

(2)若CEL4D,求3E與平面/CE所成角的正弦值.

18.甲，乙兩名射擊運動員進行射擊訓練，無論之前射擊命中情況如何，甲每次射擊命中目

21

標的概率都為乙每次射擊命中目標的概率都為

(1)甲先射擊，若未命中目標則甲繼續射擊，若命中目標則換乙射擊，直至乙命中目標就結

束訓練.求第三次射擊就結束訓練的概率；

(2)如果甲，乙兩名射擊運動員輪流射擊，有人命中目標就結束訓練.若甲先射擊，求：

①甲射擊一次就結束訓練的概率；

②求結束訓練時甲射擊次數的分布列.

試卷第3頁，共4頁

19.設片，月兩點的坐標分別為（7,0）,（1,0）.直線P與，率相交于點尸，且它們的斜率

之積為4.記點尸的軌跡為曲線C.

（1）求曲線。的方程；

⑵數列｛叫，也｝是正項數列，且數列也｝是公差為4的等差數列，點匕也乂”N*）在

曲線C上，求證：0<??+1-??<2；

⑶過點的直線/交曲線C于4,8兩點（48兩點在y軸右側），在線段上取異

于48的點，且滿足口劃切刈=|40卜|兒倒，證明：點。在定直線上.

試卷第4頁，共4頁

《貴州省畢節市2025屆高三第一次診斷性考試數學試題》參考答案

題號12345678910

答案CBCDADACABCAD

題號11

答案AC

1.C

【分析】求出集合8,由/口3=8,能求出實數。的取值范圍.

【詳解】集合/={x[0<x<a},5={X|X2<3X-2}={X|1<X<2）,

?.?始8=3,:.BjA,

a>2,

則實數。的取值范圍是（2,+s）.

故選：C.

2.B

【分析】根據已知條件，結合復數的四則運算，以及實系數多項式虛根成對定理，即可求解.

【詳解】復數z滿足zi=l+i,

則z=1-i,

z是關于x的方程x2+px+q=0的一個根，

則亍=1+i也是關于x的方程x2+px+q=0的一個根,

用Jl+i+l-i=-Pp=-2

故")(1)=?，解得

4=2

故選：B.

3.C

【分析】由等差數列和等比數列的性質與求和、求積，可得所求和.

【詳解】等差數列{4,}的前〃項和為S,,等比數列{"}的前"項積為北,

且。6=6,b6=-l,

則Sy?+7]]=5x11(%+%])+4仿…Z?u=11%+6：=66—1=65.

故選：C.

4.D

答案第1頁，共14頁

【分析】根據兩角和的余弦公式及同角三角函數的基本關系求出cosacos"、sinasin",

再由兩角差的余弦公式計算可得.

【詳解】因為cos(a+A)=COSQcos￡-sinasin￡='，

sincrsin/?=—

csinasin[32一15

fan"嬴甌解得

a3'

cosacosp=-

311

所以cos(a-A)=cosacos尸+sinasin￡=.

故選：D

5.A

【分析】利用排列組合知識，結合分類加法計數原理求解.

【詳解】由題意可知，選課方案分2類：

①選1門體育類選修課和2門藝術類選修課，有=36種方案，

②選2門體育類選修課和1門藝術類選修課，有C；C；=60種方案，

所以不同的選課方案種數是36+60=96種.

故選：A.

6.D

【分析】推導出f(x+2)=-7'(X),進而可推導出f(x)是周期為4的周期函數，進而求出

2025

/⑴+*2)+八3)+/(4)的值，以及41)的值，再結合函數周期性可求得■⑴的值.

1=1

【詳解】因為定義域為R的奇函數/⑴滿足/(l+x)=/(l-x),則/(x+1)—,

即/(x+2)=寸(x),所以，/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以，函數/(x)是周期為4的周期函數，

則/(3)=止1)=-/(1),/(4)=/(0)=0,/(2)=-/(0)=0,則

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

當xe(O,l］時，/(l)=1+1=h

20254

因為2025=4x506+1,故工/⑴=5062/■⑴+〃1)=〃1)=1.

Z=11=1

故選：D.

答案第2頁，共14頁

7.A

【分析】由題意，設出M的坐標，結合拋物線的方程得到點。的坐標，根據E,D三

點共線，求出為=8,結合弦長公式和勾股定理求解即可.

因為拋物線C的方程為/=8x,

所以準線/的方程為/=-2,

可得。(一2,%),

因為M,E,。三點共線，則三點縱坐標相等，

易知圓E的圓心￡(0,8),半徑r=2,所以為=8,M(8,8)

所以|ME|=8,

在Rt△尸ME1中，r=82一4=60,

貝I]|?|=2V15.

故選：A.

8.C

【分析】S[/(X)]2-5/(X)+6=0,可得/(x)=2或/(x)=3,作出函數的圖象，結合圖象

求解即可.

【詳解】令[“X)了-5/(x)+6=0,

則有/'(x)=2或/'(x)=3,

答案第3頁，共14頁

作出函數了=/（無）的圖象，如圖所示:

因為直線了=2與了=/（無）的圖象有3個交點,

直線y=3與了=/（x）的圖象有4個交點,

所以原方程有7個解.

故選：C.

【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；

（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；

（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.

9.ABC

【分析】利用正態分布的對稱性可判斷A選項；利用正態分布的特點求出E（X）、O（X）的

值，利用二項分布可求得磯丫）、。a）的值，可判斷BC選項；利用獨立重復試驗的概率公

式可判斷D選項.

【詳解】因為X~N（3,2）,

對于A選項，P[X<3）,A對；

對于B選項，E（X）=3,￡（y）=9x1=3,則E（X）=E（y）,B對；

對于C選項，D（x）=2,r）（y）=9x1xj=2,則。（x）=D（y）,C對;

對于D選項，===aSrL,D錯.

''93(3J21873

故選：ABC.

10.AD

答案第4頁，共14頁

【分析】先由三角恒等變換化簡函數解析式得/（x）=sin［2x+tj,再由三角函數的圖像與

性質逐一判斷各選項即可.

【詳解】因為〃力=

=哈+力+6sinxcosx

=—sin——\-2x+——sm2x=—coszxH----sm2x=sm2x-H,

2<2)222I6,

.，兀).(c兀71?.兀i

對J于A,z.D=sm[2xw+Nj=sm]=l,故A正確H；

對于B,/[-《)=sin[-2xt+1[=sin[q)=￡wO,故B錯誤；

冗ITjrjrTT

對于C,令---F2/CTI<2x-i——<——F2kjt,keZ,解得---\-kit<x<——I-kn,keZ,

TTTT

所以的單調遞增區間是++E/eZ,故C錯誤;

對于D,當XW0,—時，2CDXH—G—,----1—,

6J6\_636

因為/（8）在［0,g］上的最大值為1,所以?+解得0N1,所以正實數0的最小

_OJ362

值為1,故D正確.

故選：AD.

11.AC

【分析】選項A：建立空間直角坐標系，設加（無,乃1）,由/4c可得x+y=l,即可判

斷M的軌跡為線段BQ；

a5

選項B：由力”=；得/+/=1,其半徑大于正方形4與。2的棱長，故軌跡不是圓的四分

之一；

?y

選項C由線和平面夾角概念先求得sma=Esin0=,=

7Tyjx2+y2+l

1

sm/=KG，進而可得;

選項D：/W與球相切時，軌跡有部分在正方形N￡G2外部，故在正方形N￡G2內點M

的軌跡不是封閉圖形.

【詳解】選項A：如圖建立空間直角坐標系，

答案第5頁，共14頁

z

則N(O,O,1),4(0,0,0),c(l,l,l),

設M(x,%0),則"=(1,1,1),AM={x,y,-\),

由AMJ_A{C得4。?AM=x+y—1=0,故x+y=l,

故"的軌跡為線段42,長度為亞，故A正確；

選項B：由4河=Q=得/+/+i=9*，即/+2二5］，

244

因交＞1,故M點的軌跡不是一個圓的四分之一，故B錯誤;

2

設平面a,B，7分別為直線4N與平面力/田田，平面44QQ,平面所成的角,

sinB=.=siny=/=■

則y/x2+y2+1，J/+/+1

故sin2a+sin2/}+sin2/=1,

故cos2a+cos2p+cos2/=3-卜in?a+sin2p+sin27)=2,故C正確；

選項D,由題意/儲過球心，如圖為正方體中截面441。。，

可知當與球相切時，點M在4G的延長線上，即在正方形44aA的外部,

答案第6頁，共14頁

故當與球相切時，M點的軌跡不是封閉圖形，故D錯誤,

故選：AC

【點睛】關鍵點點睛：本題涉及動點的軌跡問題，可考慮利用空間直角坐標系解決問題，其

中選項D通過轉化方程后較難判斷，通過分析可判斷軌跡不是全部在正方形4片。。中，

進而可判斷.

12.(-1,3)

【分析】根據對數的真數大于零，結合一元二次不等式的解法即可得結果.

【詳解】要使y=ln(-f+2X+3)有意義，

則-f+2x+3>0,

可得--2》-3<0,

即(x+l)(x-3)<0,

可得-1cx<3,

即"皿-%2+2x+3)的定義域為(-1,3),

故答案為：(T,3).

【點睛】本題主要考查對數型復合函數的定義域，考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎

題.

13.-/0.5

2

【分析】由平面向量的線性運算及數量積運算即可求解.

【詳解】由題意，CE=ACD.貝1」流=(1-2)配，

所以近=益+瓦=25+(1-2)反，~Bl5=BA+AD=AD-~DC-

所以荏.前=［而+(1—2)方可.(AD-DC)

-------*2/、,1■,/、,?2

=ADDC

答案第7頁，共14頁

=4—4(1—2)=2,

解得馬?

故答案為：y.

14.V2-11

【分析】設州（看,%）,無。＜0,外R0,求出焦半徑|九牛|,結合已知建立方程求出離心率；利

用平行推比例式求出所求值.

22

【詳解】令橢圓C:j+2=l(a>6>0)左焦點尸(-G。)，離心率e=j

aba

設匹看,%),%<0,%片0,則N(-Xo，%),

a

I------------------[c1

IMF|—+c)2+y；=.——XQ+2cXg+q-=q+ex。，

2

當MFLMN,IMF|=|ACVI時，x0=-c,則a-ec=2c,BPe+2e-l=0,

而0<e<l,解得6=血-1；

同理|NF|=a-ex0,而|工4|=|五N|=a+e%,貝lj|AMH網||=一2夕。，

,\FB\\FA\\FB\\MN\_-2x0_1

由MNHFB,得而“二兩,因此兩

|NA|-2exQe

所以e-也1

故答案為：V2-1;1

答案第8頁，共14頁

7

TBx

【點睛】關鍵點點睛：設出點”的坐標，求出焦半徑是求解問題的關鍵.

71

6（匕

⑵2

【分析】（1）根據兩個向量垂直的條件，算出2asin3=2RcosN,結合正弦定理推導出

sin4=VJcosZ,進而求出tan/=VJ,可得角A的大小；

（2）根據/二三，利用三角形的面積公式推導出慶=4,然后根據余弦定理與基本不等式算

出/的最小值，進而可得本題的答案.

【詳角軍】（1）,加_L〃，/.2asinB-2y/3bcosA=0,

又結合正弦定理可得：sin^4sin-^3sinBcosA=0，

sin8w0,sin4—百cos/=0,/.tanA=道,

*/AG（0,7i）,A=.

（2）由（1）可知4=W，S"5c=；bcsinZ=8,

—besin—=^-bc=,「.be=4,

234

a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be>2bc-be=be=4（當且僅當6=c=2時取等），

：.a>2,即。的最小值為2.

16.（l）4ex+y-2e=0

⑵/⑺的單調遞增區間為（-叫-1）,（3,+s）,/（x）的單調遞減區間為（-1,3）；極大值為：，

極小值為-2e3.

【分析】（1）對/（無）求導，利用導數的幾何意義可得。的值，求出/（1）,可得切點坐標，

利用點斜式可得切線方程；

（2）由（1）可得導函數，利用導數與單調性的關系可得單調區間，進而可得函數的極值.

答案第9頁，共14頁

【詳解】(1)/(x)=eA[ax2+(a-5)x+l],

/'(x)=e》[a尤2+(34_5)尤+0_4],

??,直線/的斜率為-4e,

由題意知/'⑴=(5。-9)e=-4e,解得。=1,

:.f(x)=ex(X2-4X+1),⑴=—2e,即尸(l,—2e),

曲線y="X)在點尸(l,-2e)處的切線方程為j+2e=-4e(x-l),

即4ex+y-2e=0；

(2)由(1)知/(幻=“》2-2》-3),

由/''(x)>0得尤<-1或x>3,由/'(尤)<0得一l<x<3,

\/(x)的單調遞增區間為(-叫T)，(3,+8),

/(x)的單調遞減區間為(-1,3),

.”=-1時，/(x)有極大值，極大值為/(-1)=：,

x=3時，/(X)有極小值，極小值為/'(3)=-2e3.

17.(1)證明見解析

這

14

【分析】(1)先證所〃尸5,再利用線面平行的判定定理即可得證；

(2)建立空間直角坐標系。-中z,求出平面NCE的法向量，利用向量法求解即可.

【詳解】(1)證明：連接3。交/C于點R連接斯，

底面ABCD是菱形,:.F是BD的中點,

又￡是尸。的中點，EF//PB,

?.?￡Fu平面NCE,必仁平面/CE,

答案第10頁，共14頁

所以P3〃平面/C￡；

(2)記40中點為O,連接E。，OC,貝(JEO//P/,

又底面/BCD,.,.EO_L底面N3CD,

?.?ADu底面ABC。，EOYAD,

又；ECLAD,ECC\EO=E,C￡,OEu平面COE,

所以4DJ_平面COE,又COu平面COE,.?./￡)_LCO,

所以"CD是等邊三角形，

是尸。的中點，且PA=AD.

以。為原點，OA,OC,分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z.

不妨設尸4=/￡>=2,貝)(1,0,0),C(0,A0),￡(0,0,1),8(2,百,0),

^C=(-1,73,0),ZE=(-1,0,1),BE=(-2,-43,1),

設平面ACE的法向量萬=(x,y,z),

n-AC=-x+>j3y=0,n-AE=—x+z=Q>

可取元=(6,1,e)，cos萬，而中6=XI,

''gx次14

記BE與平面/CE所成角為。，貝!Isin。=|cos亢,BE|=，

II14

即BE與平面ACE所成角的正弦值為叵.

14

2

18.(D-

7

(2)①上；②答案見解析.

【分析】(1)利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解；

(2)①利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解；②由題意可知，X的可能取值為1,2,,

答案第11頁，共14頁

k,,利用獨立事件和互斥事件的概率公式求出相應的概率，進而得到X的分布列.

【詳解】(1)設事件4="甲第i次射擊命中目標”，設事件耳="乙第i次射擊命中目標”,

設事件c="第三次射擊就結束訓練”，

71

則尸(4)=§,尸(與)="

所以尸(0=尸(可尸(4)尸(4)+H4)X^)X52)=|X|X|+|X|X|=|)

所以第三次射擊就結束訓練的概率為1;

(2)①設事件。="甲射擊一次就結束訓練”

則p⑷=P(4)+*)p⑻=/1號卜鴻，

7

所以甲射擊運動員射擊一次的概率--

②設結束訓練時，甲射擊運動員射擊次數為X,則X的可能取值為1,2,…，幺…

P(X=1)=P(4)+尸(4)P⑻=＞『知=(,

尸(X=2)=尸閭尸㈤尸⑷+尸閭尸闖尸⑷尸闖=*xg+*x；x；哈…，

尸(X6)=［P閭尸⑷…尸(如天尸闖尸(瓦)…尸(鼠；)］尸⑷

+［尸閭尸伍)…尸(布)］［尸闖尸(瓦)…尸(屋0］尸伍)尸(4)

nV-1(2丫12fiY-1.丫7117⑶I

二—X—X—+—X—XCY-X—…,

⑶⑺3⑶⑺339⑼

故甲射擊運動員射擊次數的分布列為：

X123k

7

P

9閨赳丁

2

19.(l)x2-^-=l(x^±l)

(2)證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)設尸卜/),結合斜率公式求解即可;

答案第12頁，共14頁

（2）易知匕（%,，），（。用也J都在第一象限，列出