二次根式易錯與壓軸訓練（5大易錯+5大壓軸）

01思維導圖

目錄

【易錯題型】...................................................................................1

易錯題型一根據二次根式的定義求字母的值......................................................1

易錯題型二根據參數范圍及二次根式的性質化簡二次根式.........................................3

易錯題型三含隱含條件的參數范圍化簡二次根式.................................................4

易錯題型四已知最簡二次根式求參數............................................................6

易錯題型五已知同類二次根式求參數............................................................7

【壓軸題型】...................................................................................9

壓軸題型一復雜的復合二次根式化簡............................................................9

壓軸題型二二次根式中的分母有理化...........................................................13

壓軸題型三二次根式中的規律探究問題.........................................................17

壓軸題型四二次根式中的應用問題.............................................................24

壓軸題型五二次根式中的新定義型問題.........................................................27

02易錯題型

易錯題型一根據二次根式的定義求字母的值

例題：（23-24八年級下?云南昭通?期中）已知舊工是整數，”是正整數，則”的所有可能的取值的和是

（）

A.11B.12C.15D.19

鞏固訓練

1.（22-23七年級下?廣東汕頭?期末）已知二荷是整數，則自然數冽的最小值是（）

A.2B.3C.8D.11

2.（22-23八年級上?福建福州?期末）若瓦是一個整數，則正整數機的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（22-23八年級下?福建福州?期中）己知〃是一個正整數，質是整數，則"的最小值是（）

A.0B.4C.5D.20

易錯題型二根據參數范圍及二次根式的性質化簡二次根式

例題：（23-24八年級下?遼寧撫順?期中）化簡：后#'=-

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?全國?單元測試）當2＜。＜3時，化簡：卜-2|-，（"3）2=.

2.（2024?四川樂山?模擬預測）已知△NBC的三邊分別為2,x,5,化簡五二^T?+|x-7|=.

3.（23-24八年級上?重慶沙坪壩?期末）已知點/、B、C在數軸上表示的數°、6、c的位置如圖所示:

I[I____________IA

ab。c

化簡：后-證-\b+c|=.

易錯題型三含隱含條件的參數范圍化簡二次根式

例題：（23-24八年級下?浙江嘉興?期末）二次根式化簡結果正確的為（）

A.xjx2yB.-xyjxI2y3C.D.-x^/xy

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?河南安陽?期中）當仍＜0時，化簡曲的結果是（）

A.一Q4-bB.ay[-bC.-a4bD.a4b

2.（23-24八年級下?天津?期中）已知，而＞0,化簡二次根式搟的正確結果是（

)

A.y[bB.4~bC.—y/bD.—y[—b

3.（23-24八年級下?內蒙古巴彥淖爾?期中）化簡：一人」=_____.

Va

易錯題型四已知最簡二次根式求參數

例題：（23-24八年級下?山東日照?期中）已知瘍豆是最簡二次根式，請你寫出一個符合條件的正整數[的

值

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?吉林?階段練習）已知而方是最簡二次根式，請寫出一個滿足條件的加的整數值:.

2.（2023八年級上?全國?專題練習）寫出一個正整數〃，使島是最簡二次根式，則〃可以是—.

3.若二次根式扃石是最簡二次根式，則最小的正整數a為.

易錯題型五已知同類二次根式求參數

例題：（23-24八年級下?山東東營?開學考試）如果g與最簡二次根式后石是同類二次根式，那么

Q=.

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?內蒙古呼和浩特?開學考試）當〃=時，最簡二次根式岳二1與一回目可

以合并.

2.（23-24八年級上?湖南林B州?期末）若最簡二次根式",與^可以合并，則。=，b=.

3.（23-24八年級下?山東煙臺?期末）若加與最簡二次根式而7T能合并，則加的值為.

03壓軸題型

壓軸題型一復雜的復合二次根式化簡

例題：（23-24八年級上?四川巴中?階段練習）閱讀材料.

把根式Jx±2后進行化簡，若能找到兩個數叭"，是病+/=x且，則把》±2五變成

m2+n2±2mm=（m±n）2開方，從而使得^x±2^y化簡.

如：J3+2收=J1+2亞+2=+/+（碼,=?1+何=|1+V2|=1+V2

解答問題：

（1）填空：^5+246=>-4AQ=-

⑵73-272+,5-2遙+，7-2疵+，9-2同

鞏固訓練

1.(23-24八年級下?湖南湘西?階段練習)有這樣一類題目：將化簡,如果你能找到兩個數加、”,

2

使加2+/=°且加"=yfh，貝！1將(7土2\[b將變成〃，+〃2±2m〃,即變成(機±")開方，從而使得八±2〃化簡.

例如，5+276=3+2+276=(A/3)2+(V2)2+273-V2=(73+V2)2,

75+276=V3+V2J"=V3+V2

請仿照上例解下列問題：

(1)18-2岳;

(2)78-748.

2.(23-24八年級下?遼寧大連?階段練習)觀察、思考、解答：

(V2-1)2=(V2)2-2xlxV2+12=2-272+1=3-2>/2

S±3-2V2=2-272+1=(V2-1)2

3-2>/2=(V2-l)2

--\/3—2V2=V2—1

(1)仿上例，化簡：76-275=，_弧=-

(2)若6+26=而+6，則加、”與。、6的關系是什么？并說明理由；

3.(23-24八年級下?江蘇淮安?期末)像"-2e,，灰-衣,這樣的根式叫做復合二次根式.有一些復合

二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡：

如：=,3-2石+1=^(V3)2-2xV3xl+l2="尺=退一

再如：、5+2娓=，3+2J6+2=[(可+2氐血+(血/=小(6+后『=百+血，

請用上述方法探索并解決下列問題：

(1)化簡：^9+2714=

(2)化簡：。-46=

⑶若(4^-小=k-6亞,且左，私〃為正整數，求上的值.

壓軸題型二二次根式中的分母有理化

例題：(24-25八年級上?全國?課后作業)［核心素養］閱讀下面的解答過程:

1一卜陽)-1

VI+r(72+1)(72-1)-；

11x(6一碼h五

6+近一(6+碼(6-6)

根據以上解答過程解決下列問題:

1

⑴7T7T」

⑵試求仁+尋耳+石匕+…+—而+看而的值.

鞏固訓練

1.(23-24八年級下?陜西延安?期末)閱讀材料：在解決問題“若。=皆萬，求2/一12a-5的值''時，小俊

是這樣分析與解答的:

2(3+77)2(；+，)=3+近,.,.”3=77,(0-3)2=7,

Q2_6Q=_2?

(3-V7)(3+V7)

.-,2a2-12a-5=2(a2-6a)-5=2x(-2)-5=-9.

請你根據小俊的解答過程，解決如下問題：

⑴化簡:金；

4

(2)若~忑,求2a2-12a+l的值.

2.(23-24八年級下?江蘇無錫?期末)閱讀材料：

像心+⑹(石-@=3、疝&=a(a>0)、(6+1)(揚-1)=6-1(620)……兩個含有二次根式的代數式相

乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式.

例如，6與6、行+1與行-1、2百+3店與2月-3不等都是互為有理化因式.在進行二次根式計算時,

利用有理化因式，可以化去分母中的根號.

根據以上閱讀材料回答下列問題：

（1）計算：忑匕=」

Q)計算：I7V2+V2TV3+V3T2+,"+V2024+V2025-

3.（23-24八年級下?河北承德?期中）閱讀下列材料，然后回答問題：在進行二次根式運算時，我們有時會

3

碰上如79、樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡:

3x75

|A/5(I)

75x75

信焉T皿

22x（73-112（V3-1）

用1=（用1代一丁丙（III）

以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.

還可以用以下方法化簡：

23一1（石『-1（皇+*百T［行］（iv）

73+1V3+1A/3+1A/3+I-

（1）請用不同的方法化簡陋、

2

①參照（III）式得加"+=_;

2

②參照（iv）式得及+6=—；

2222

。）化筒：V3+1+V5+V3+77+75++A/2W+1+V2^F

壓軸題型三二次根式中的規律探究問題

例題：（23-24八年級下?遼寧鞍山?期末）觀察下列各式并解答問題：

*+；［=］卜*士舟:'/+，+>晦*……

⑴計算：J++++；

（2）按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含"的等式表示，〃為正整數）.

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?江蘇泰州?期末）嘉嘉根據學習“數與式”積累的活動經驗，想通過“特殊到一般”的方法

探究二次根式的運算規律.下面是嘉嘉的探究過程：

等式①：11=2心；等式②：A1=32；

等式③：卜+g=46；等式④：；...

(1)【特例探究】將題目中的橫線處補充完整；

(2)【歸納猜想】若〃為正整數，用含〃的代數式表示上述運算規律，并證明此規律成立；

(3)【應用規律】嘉嘉寫出一個等式。；=(a,b,c均為正整數)，若該等式符合上述規律，則

^a2+b2-2c2的值為.

2.(23-24八年級下?遼寧大連?期中)觀察下列等式，解答下列問題：

第1個等式：^14=2^1；

第2個等式：步［=3(；

第3個等式：行(=4?！?/p>

(1)請直接寫出第4個等式：_(不用化簡)；

(2)根據上述規律猜想：若"為正整數，請用含力的式子表示第力個等式給予證明；

(3)利用(2)的結論計算：A2024+^—x72026-.2023+-^—xV2025.

\2026V2025

3.(24-25八年級上?上海?階段練習)先觀察下列等式，再回答問題：

①J+*=i+H；

不L11?11

③4鏟+不=1+y"

(1)請你利用上述規律計算符］

(仿照上式寫出過程)；

(2)請你按照上面各等式反映的規律,寫出一個用〃("為正整數)表示的等式__________

(3)請你利用發現的規律，計算：

j+F+2?+,2?*于*J*于*4?*…*J*2022,12023,

-2024

4.(23-24八年級下?全國?單元測試)觀察下列各式及驗證過程

驗證醫=忌=忌

（1）按照上述三個等式及其驗證過程中的基本思想，猜想的變形結果并進行驗證.

（2）針對上述各式反映的規律，寫出用〃（"為任意的自然數，且〃。2）表示的等式，并給出證明.

5.（23-24八年級下?江西贛州?期中）課本再現

（1）判斷下列各式是否成立，并從中選擇一個進行驗證：

（2）用字母〃（"是正整數，7拒2）表示這一規律是：；

類比猜想

（3）愛思考的小開同學在解決上面問題時，注意到后=1：=2上，層=，1；=3#,猜想如果

根號里的式子加法改為減法，也會有一系列有類似規律的式子.經過一番嘗試，他寫出了以下兩個式子，

請你幫助他求出x,y的值:

壓軸題型四二次根式中的應用問題

例題：（22-23八年級上?四川涼山?期末）我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》一書中，給出

了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即若一個三角形的三邊長分別為。，b,c,則該三角形的面積

S滿足公式：S=/人廣+；—[.現已知△N8C的三邊長分別為1,3,45,求△ABC的面積.

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?陜西安康?期末）在一個長為56cm,寬為4，5cm的長方體塑料容器中裝滿水，然后將

這個塑料容器內的一部分水倒入一個高為伍m的圓柱形玻璃容器中，當玻璃容器裝滿水時，塑料容器中

的水面下降了V^cm.求圓柱形玻璃容器的底面半徑.

2.（23-24八年級上?廣東湛江?期末）如圖，木工師傅在一塊長方形木料上截出兩塊面積分別為8而②和18力帝

的正方形木板.

18dm2

8dm2

(1)截出的兩塊正方形木板中，小正方形木板的邊長為一dm,大正方形木板的邊長為一dm；(結果需化簡)

(2)求原長方形木料的面積；

(3)木工師傅想從剩余矩形木料中截出一塊正方形木板，這塊正方形木板的邊長是否可以是2dm,請說明理

由.

3.(23-24八年級下?陜西安康?期中)實數與數軸上的點是一一對應的，有理數中的相關概念，運算法則，

運算律同樣適合于實數，請根據實數的相關知識，解決下列問題：

COAB

—?—?------------1-----

01@

圖①圖②

(1)如圖①，數軸上表示1,0的對應點分別為43,點2到點/的距離與點。到點。的距離相等，設點

c所表示的數為x,求卜+應了+仁-丁的值；

(2)如圖②，在一個長方形中無重疊放入面積分別為2cmz和32cm2的兩張正方形紙片，求圖中陰影部分的面

積.

壓軸題型五二次根式中的新定義型問題

例題：(23-24八年級下?江西贛州?期中)定義：我們將(G+振)與(6一指)稱為一對“對偶式”.因為

(^+峭(&-峭=耐-耐=a-b,可以有效的去掉根號，所以有一些問題可