第6章實數能力提升測試卷

（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）

一、單項選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.下列整數中，與而-2最接近的是（）

A.2B.3C.4D.5

2.計算中+（-2八卜4|的值是（）.

A.8B.10C.12D.16

3.數軸上表示6-的點/的位置應在（）

A.1與2之間B.2與3之間

C.3與4之間D.4與5之間

4.已知實數a,6分別是6-而的整數部分和小數部分，則（）

A.2-V1TB.6-VTTC.V1T-2D.2+Vii

5.我們規定：㈤表示不超過x的最大整數.如：[2]=2,[3.2]=3,則

[&]+[&]+[石]+[在]+…[a]+[屈]的值為（）

A.507B.516C.525D.534

6.任意實數。，可用[4表示不超過。的最大整數，如[4]=4,[6]=1,現對72進行如下

操作：72.[萬]=8—[a]=2-這樣對72只需進行3次操作后變為1.類似的:

對數字900進行了〃次操作后變為1,那么n的值為（）

A.3B.4C.5D.6

7.如圖所示為一個按某種規律排列的數陣：

第一行1V2

第二行245V6

第三行V83VioViTV12

第四行而Vl4V154后V18V19V20

試卷第1頁，共6頁

根據數陣規律，第八行倒數第三個數是（）

A.V72B.V71C.V70D.V69

8.一個長方體剛好切成3個相同的正方體,表面積增加了36dm,原來長方體的體積是

()dm3.

A.108B.81C.432D.648

ab23

9.我們來定義一種運算：=ad-bc.例如45=2X5-4X3=-2；再如

ca

x2

13=3x-2,按照這種定義，當x滿足（

A.x=——B.x=——

22

10.規定⑷取。的整數部分，例如：[3.9]=3,[5.2]=5,網=8,則

[&]-[后]+[6]-[V?]+…-[聞]+[M]的值等于()

A.4B.-4C.5D.—5

二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）

11.若整數“滿足條件后〈后，貝壯的值是—.

12.6的小數部分為見4-右的整數部分為從則6=,\a-b\=

13.任何實數°,可用[4表示不超過。的最大整數，如[4]=4,[G]=l,現對72進行如下

操作，這樣對72只需進行3次操作后變為1,只需進行3次操作后變為1的所有正整數中,

最大的是.

第一次.—第二次「第三次L

72.[J72].[，8]=2f[，2]=1

14.每年農歷八月十五是我國傳統的中秋佳節，這時是一年秋季的中期，所以被稱為中

秋.自古便有中秋節賞月品月餅的習俗，某商店的李師傅制作的正方體月餅禮盒的體積為

216cm3,而康師傅制作的正方體.月餅禮盒的體積比李師傅制作的小91cm3,則康師傅制

作的正方體月餅禮盒的表面積為-

15.如圖，面積為2的正方形/BCD的頂點A在數軸上，且表示的數為-1,若以A為原點,

為半徑畫弧交數軸于點￡,點E在點A的右邊，則數軸上點￡所表示的數為.

試卷第2頁，共6頁

C

D

i}ii>

~H~O1!2^

16.如圖是一個按某種規律排列的數陣:

1第1行

V32出V6第2行

a2A/23VwVTT25/3第3行

V13V14V154斤!372V19275第4行

根據數陣排列的規律，第“("是整數，且"24)行從左向右數第(〃-3)個數是.(用

含"的代數式表示)

三、解答題(本題共6小題，共52分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.)

17.計算：

(1)(-3.8)-(+7)；

⑵(-8)+4x(-3)；

(3)725+^7；

18.已知5a+2的立方根是3,3a+6-1的算術平方根是4,c是標的整數部分.

(1)求。，6,c的值；

⑵求2a+6-c的平方根.

19.根據下表回答下列問題：

X1717.117.217.317.417.517.617.717.817.918

X2289292.41295.84299.29302.76306.25309.76313.29316.84320.41324

(1)295.84的算術平方根是316.84的平方根是」

(2)7299.3-_；(保留一位小數)

試卷第3頁，共6頁

(3)729241(3.1329=_；

⑷若人介于17.6與17.7之間，則滿足條件的整數〃有一個；

(5)若這個數的整數部分為m,求J3m-5-(加-⑹'的值.

20.三個互不相等的負整數，若兩兩乘積的算術平方根都是整數，則稱這三個數為“完美組

合數”，例如：-3、-12、-27這三個數，7(-3)x(-12)=6,J(-3)x(-27)=9,

7(-12)x(-27)=18,其結果6、9、18都是整數，所以-3、-12、-27這三個數稱為“完美

組合數”

(1)-2,-8、-18這三個數是“完美組合數”嗎？請說明理由：

(2)若三個數-5、m、-20是“完美組合數”，其中有兩個數乘積的算術平方根為20,求打的

值.

21.提出問題:

單項式“力”可表示邊長為。的正方形的面積，這就是數學中的數形結合思想的體現.如何

用數形結合的方法探究0的近似值呢？

探究方法：

面積為2的正方形邊長為血，可知血＞1，因此設Q=l+.且0＜r＜l.

畫出示意圖：圖中正方形的面積可以用兩個正方形的面積與兩個長方形面積的和表示，即

S正方形=r+2xr+l，另一方面S正方形=2,貝I]/+2xr+l=2,由于嚴較小故略去，得2廠+1W2,

則”0.5,即收

⑴仿照上述的方法，探究百T的近似值(結果只包含1位小數)，要求：畫出示意圖，標明

數據，并寫出求解過程；

(2)綜合上述具體探究嘗試計算詬：已知非負整數。、b、m,若a＜而＜a+l,且

m-a2+b1則4m~(用含a、b的代數式表示)；

試卷第4頁，共6頁

(3)應用上探究結果，直接寫出"［的近似值，而x(結果只包含2位小數).

22.下面是小敏寫的數學日記的一部分，請你認真閱讀，并完成相應的任務.

2023年9月22日天氣：晴

無理數與線段長.

今天我們借助勾股定理，在數軸上找到了一些特殊的無理數對應的點，認識了“數軸上的點

與實數一一對應”這一事實.

回顧梳理：要在數軸上找到表示土垃的點，關鍵是在數軸上構造線段0/=04=夜.如圖

1,正方形的邊長為1個單位長度，以原點。為圓心，對角線長為半徑畫弧與數軸上分別交

于點4A',則點/對應的數為血，點H對應的數為一百.

類似地，我們可以在數軸上找到表示土石，土而，…的點.

拓展思考：如圖2,改變圖1中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數軸上構造出線段

OB與OB，,其中。仍在原點，點、B,夕分別在原點的右側、左側，可由線段08與02'的

長得到點2,9所表示的無理數！按照這樣的思路，只要構造出特定長度的線段，就能在數

軸上找到無理數對應的點！

任務：

⑴在圖3中畫圖確定表示加的點M.

-5-4-3-2-1012345

圖3

(2)把5個小正方形按圖中位置擺放，并將其進行裁剪，拼成一個大正方形.請在圖中畫出

裁剪線，并在圖4中畫出所拼得的大正方形的示意圖.

試卷第5頁，共6頁

圖4

(3)小麗想用一塊面積為36cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為20cm2的長方形

紙片如圖5,使它的長是寬的2倍.小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請你通過計

算說明理由.

圖5

(4)在圖6中的數軸上分別標出表示數-0.5以及-3+6的點，并比較它們的大小.

IIIIIIIIIII

-5-4-3-2-1012345

圖6

試卷第6頁，共6頁

1.c

【分析】本題考查了估算無理數的大小，有理數乘方的應用，由題意得出與35最接近的平

方數，即5.5〈莊<6,然后可判斷衣-2的范圍，即可判斷出來.

【詳解】解：?后〈屈<莊

???5<V35<6,

???5.52=30.25<35,

?i,5.5<。35<6，

:3.5<莊-2<4,

故，與后-2最接近的是：4,

故選：C.

2.C

【分析】本題主要考查了立方根，乘方運算，有理數的混合運算等知識點，先進行立方根,

乘方，去絕對值運算，再進行乘法運算，最后加減運算即可得解，熟練掌握其運算法則并能

靈活運用是解決此題的關鍵.

【詳解】解：0?+(-2|卜4|

=-4+4x4

=-4+16

=12,

故選：C.

3.A

【分析】此題主要考查了估算無理數的大小，正確得出J過的取值范圍是解題關鍵.

先估算出J討的取值范圍，進而可得出6-&7的范圍.

【詳解】解：???16<17<25,

.-.4<V17<5,

-5<-V17<-4,

.?.1<6-V17<2,

答案第1頁，共13頁

故選：A.

4.C

【分析】此題考查了用有理數估計無理數，先估算無理數-而的大小，可得

-4〈-疝<-3,從而表示出6-而的整數部分和和小數部分；再把。、%的值代入代數式

6中計算，即可得到答案.

【詳解】解：

???3<ViT<4,

,,,-4<-ViT<_3,

???2<6-VH<3>

??-6-VTT的整數部分。=2,小數部分6=6-VH-2=4-而，

.?.”6=2-（4-舊）=-2+拒.

故選：C.

5.B

【分析】本題主要考查的是無理數大小的估算，掌握[司的意義是解題的關鍵.根據[x]的定

義確定其值，進行計算即可.

【詳解】解：：&=1,4=2,也=3,V16=4,后=5,莊=6,a=7,

癇=8,屈=9,

[VT]+[V2]+[V3]+[V4]+---[V87]+[V88]

=1+1+1+2+…+9+9

=1x3+2x5+3x7+4x9+5x11+6x13+7x15+8x17+9x8

=3+10+21+36+55+78+105+136+72

=516

故選：B.

6.B

【分析】本題考查了估算無理數的大小的應用，根據⑷表示不超過。的最大整數計算，可

得答案.

【詳解】解：900—第一次[質U]=30一第二次[a]=5一第三次[石]=2一第四次

答案第2頁，共13頁

[V2]=1,

即對數字900進行了4次操作后變為1.

故選：B.

7.C

【分析】本題考查了數字的變化，算術平方根，觀察題目找出解題點是解題的關鍵.根據數

陣的規律可知：被開方數是連續的正整數，根據每一行的最后一個數的被開方數是所在的行

數乘比行數大1的數，可得結論.

【詳解】解：第1行的最后一個數是收=值，

第2行的最后一個數是"耳，

第3行的最后一個數是疵=石還，

第8行最后一個數字為年（8+1）=V72,

???第8行倒數第三個數是V8x9-2=V70,

故選：C.

8.B

【分析】此題算術平方根的靈活運用，根據題意可知，切成3個相同的正方體需要切

3-1=2次，因為每切一次增加2個正方形，所以一共增加了2x2=4個正方形，用36除

以4即可求出每個正方形的面積，根據正方形的面積可以求出它的邊長，而正方形的邊長=

切成的正方體的棱長=長方體的寬=長方體的高，長方體的長=長方體的寬x3,據此解答即

可.

【詳解】每個正方形的面積為：36+[（3-1）x2]

=36+4

=9（平方分米），

??.正方形的邊長為西=3分米，

原來長方體的體積是3x3x3x3=81（立方分米），

故答案為：B.

9.A

答案第3頁，共13頁

【分析】本題考查了新定義和解一元一次方程，對于新定義運算，正確理解新運算的方法及

含義是解題的關鍵.根據題中規定的運算規則可得：-2-x=x+l,求解即可.

x-\-4

--12

【詳解】解：由題可知：2=x-2-2x=￡=x-1+2,

x22

整理得：—2—x=x+l,

3

解得：、=-]，

故選：A.

10.A

【分析】本題考查了無理數的估算，有理數的加減混合運算，正確理解題意是解題的關

鍵.根據⑷的定義，分別求出[血~[如]的值，再代入計算即可.

【詳解】???[&]=!,[V4]=2,[囪]=3,[V16]=4,[V25]=5,[736]=6,[V49]=7,

至[向的值均為1,["]至[兩的值均為2,[@至[岳]的值均為3,[痂]至[后]

的值均為4,[后]至[莊]的值均為5,[莊]至[J羽]的值均為6,

.'.[V1]-[V2]+[V3]-[V4]+----[V48]+[V49]

=([VT]+[V3]+[V5]+---+[V49])-([V2]+[V4]+[V6]+---+[A/48])

=(1X2+2X2+3X4+4X4+5X6+6X6+7)-(1+2X3+3X3+4X5+5X5+6X7)

=107-103

=4.

故選：A.

11.3

【分析】本題考查了估算無理數的大小，根據算術平方根的定義估算無理數后、的大小

即可求解，掌握算術平方根的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：-?-2<V5<3,3<V15<4,而整數。滿足條件后<°<后，

??.2<Q<4,

Q=3,

故答案為：3.

答案第4頁，共13頁

12.3-V54-V3-V5

【分析】本題考查了估算無理數的大小，先分別求出百、石的取值范圍，即可求出。、b

的值，再根據絕對值的性質化簡即可.

【詳解】解：I,&<右<”,

.?.G的整數部分是1,小數部分是6-1,即八石-1,

???V4<V5<V9,

2<V5<3,

-3<-4s<-2，

1<4-V5<2,

；?4-逐的整數部分是1,小數部分是4-遙-1=3-右，即6=3-右，

|=|V3-l-(3-V5)|=|V3-l-3+V5|=|V3+V5-4|=4-V3-V5,

故答案為：3-行，4-V3-V5.

13.255

【分析】本題主要考查了新定義下的實數運算，根據算術平方根的意義得到[岳弓]=15,

[7256]=16,進而得到對255只需進行3次操作后變成1,對256只需進行4次操作后變成

1,據此可得答案.

【詳解】解：:22=4,4?=16,16z=256,

[7256]=16,[V16J=4,[”]=2,=

V[7255]=15,即]=3,網=1,

.??對255只需進行3次操作后變成1.

V[7256]=16,[V16]=4,["卜2,[亞]=1,

???對256只需進行4次操作后變成1.

?,?只需進行3次操作后變成1的所有正整數中，最大的正整數是255.

答案第5頁，共13頁

故答案為：255.

14.150cm2

【分析】本題考查了立方根的應用，先根據康師傅制作的正方體月餅禮盒的體積求出邊長,

進而求出表面積.

【詳解】解：康師傅制作的正方體月餅禮盒的邊長=也記二品=%云=5(cm),

所以這個表面積為=5x5x6=150cm2

15.-1+V2

【分析】本題考查實數與數軸，根據正方形的面積，求出43的長，進而得到4E的長，根

據數軸上兩點間的距離，求解即可.

【詳解】解：???正方形的面積為2,

???AB=4i，

又?.?點E在點A的右邊，

???點E所表示的數為-1+逝，

故答案為：-1+也.

16.yjn2—3

【分析】本題考查了實數的規律探究.根據題意推導規律是解題的關鍵.由題意知，每一個

數都是連續正整數的算術平方根，且前(?-1)行的數據個數為

2+4+6+8+…+2("-1)="(〃-1),則第"("是整數,且"24)行從左向右數第(〃-3)個

數為也(〃-1)+(〃-3),整理作答即可.

【詳解】解：由題意知，每一個數都是連續正整數的算術平方根，

前("I)行的數據個數為2+4+6+8+…+=+

???第"(”是整數，且"24)行從左向右數第(〃-3)個數為J小一1)+(〃-3)=廂二L

故答案為：，三.

17.(1)-10.8

(2)-20

⑶9

答案第6頁，共13頁

【分析】此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

(1)根據實數的加減混合運算計算即可得到結果；

(2)先算乘法，再算加法即可得到結果；

(3)根據算術平方根和立方根的定義計算即可得到結果；

(4)先算括號內的立方和算術平方根，再利用乘法分配律計算即可得到結果.

【詳解】⑴解：(-3.8)-(+7),

(2)解：(-8)+4x(-3),

=(-8)+(-12),

(3)解：V25+

=5+4,

(4)解:

38

T

18.⑴a=5,b=2,c=3

(2)±3

【分析】本題考查了平方根，立方根，算術平方根及無理數的估算，熟練掌握平方根，立方

根，算術平方根的定義是解題的關鍵.

(1)根據題意得到標二=3,j3a+6-l=4,c=3,計算即可得解；

答案第7頁，共13頁

(2)將Q,b,C的值代入2〃+b-C,再求平方根，注意2〃+b-c的平方根為土口萬二c

【詳解】(1)依題意：

胃5a+2—3,N3cl+b-1—4

15。+2=27

j3。+6-1=16'

又V9<V13<V16

3<VB<4,

又c是病的整數部分，

???。=3

故〃=5,b=2,c=3

(2)'：a=5,6=2,c=3,

2a+b—c=2x5+2—3=9,

/.+yj2a+b—c=+V9=±3

19.(1)17.2,±17.8

(2)17.3

(3)171,1.77

(4)4

⑸-1

【分析】⑴可得17合=295.84,17.82=316.84,由算術平方根和平方根的定義即可求解;

(2)可得J299.29=17.3,由17.29?才298.944,17.312?299.636,即可求解；

(3)開二次方時，被開方數的小數點每向右或左移動兩位時，結果小數點每向右或左移動

一位；據此即可求解；

(4)可得176<〃<17T,從而可求309.76<313.29,即可求解；

(5)由灰=18可求機=18,代值計算即可求解.

【詳解】(1)解：由表格得

答案第8頁，共13頁

17.22=295.84，

7295.84=17.2,

295.84的算術平方根是17.2,

17.82=316.84,

.?.316.84的平方根為±17.8,

故答案：17.2,±17.8.

(2)解：?1-7299.29=17.3,

17.29?。298.944,17.312?299.636,

J299.3。17.29a17.3,

故答案：17.3.

(3)解：???開二次方時，被開方數的小數點每向右或左移動兩位時，結果小數點每向右或

左移動一位；左92.41=17.1，

J29241=171,

???7313.29=17.7,

r.J3.1329=1.77；

故答案：171,1.77.

(4)解：?.?〃介于17.6與17.7之間，

.-.17.62<?<17.72,

.'.309.76</1<313.29,

可取310、311、312、313,

；?整數”有4個，

故答案：4.

(5)??-7324=18,192=361>325,

.?.歷的整數部分是18,

.,.機=18,

Y3m-5-(m-16)3

答案第9頁，共13頁

=73x18-5-(18-16)

=屈"

=7—8=—1.

【點睛】本題考查了平方根和算術平方根的定義，逐步逼近法，無理數的估算，理解定義,

掌握解法是解題的關鍵.

20.(1)是，理由見解析

⑵-80

【分析】本題考查算術平方根.

(1)對于三個互不相等的負整數，若其中任意兩個數乘積的算術平方根都是整數，則稱這

三個數為“完美組合數”，由此定義分別計算可作判斷；

(2)分兩種情況討論：①當-5加=400時，②當-20機=400時，分別計算即可.

【詳解】(1)解：-2、-8、-18三個數是“完美組合數”，理由如下：

-8、-18三個數都是負數，

???7(-2)x(-8)=4,J(-2)x(-18)=6,J(-8)x(-18)=12,

結果4、6、12都是整數，

-2、-8、-18三個數是“完美組合數”；

(2)解：:-5、-20這兩個數乘積的算術平方根為10,

???①若-5、加這兩個數乘積的算術平方根為20,則-5〃?=400,

解得m=-80,

此時J(-5)x(-20)=10,J(-5)x(_80)=20,J(-20)x(-80)=40,

—5、-80、-20三個數是“完美組合數”；

②若-20、機這兩個數乘積的算術平方根為20,則-20機=400,

解得m=-20,

???“完美組合數”是三個互不相等的負整數，

二不合題意；

綜上所述，m=-80.

21.(1)5.6

b

(2)tz+—

2a

答案第10頁，共13頁

⑶5.57

【分析】本題主要考查用幾何方法求無理數的近似值，能夠讀懂題意是解題關鍵.

(1)參照題目的過程解題即可；

(2)把條件的過程中的數字換成對應的字母解題即可；

(3)參照(1)中的過程，由5.5?=30.25<31,設相=5.5+工，解題即可.

【詳解】(1)解：面積是31的正方形的邊長是收,

設商=5+x,如圖，面積為31的正方形分成2個小正方形和2個矩形,

=/+