2022-2023學年陜西省西安交大附中九年級（上）開學數學試卷

考試注意事項:

1、考生須誠信考試,遵守考場規則和考試紀律，并自覺服從監考教師和其他考試工作人員

管理;

2、監考教師發卷后，在試卷指定的地方填寫本人準考證號、姓名等信息；考試中途考生不準以

任何理由離開考場;

3、考生答卷用筆必須使用同一規格同一顏色的筆作答（作圖可使用鉛筆），不準用規定以外的筆

答卷，不準在答卷上作任何標記。考生書寫在答題卡規定區域外的答案無效。

4、考試開始信號發出后，考生方可開始作答。

一、選擇題（共10小題，每小題3分,共30分）

1.下列方程是一元二次方程的是（)

x二二1

A.x+2y=\B.x+y2=lC.D.X2-2=0

X

2.矩形具有而菱形不具有的性質是（)

A.對邊相等B.對角線互相垂直

C.鄰邊垂直D.對角線互相平分

3.隨著生產技術的進步，某制藥廠生產成本逐年下降，兩年前生產一噸藥的成本是6000

元，現在生產一噸藥的成本是5000元.設生產成本的年平均下降為x,下列所列的方程正

確的是（）

A.6000(1+x)2=5000B.5000(1+x)2=6000

C.6000(1-x)2=5000D.5000(1-x)2=6000

4.在不透明的袋子中裝有黑、白兩種球共50個，這些球除顏色外都相同，隨機從袋中摸出

一個球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，再從中摸出一個球，經過如此大量重復試驗,

發現摸出的黑球的頻率穩定在0.4附近，則袋子中黑球的個數約為（)

A.20個B.30個C.40個D.50個

5.用配方法解一元二次方程2x2-7x+6=0,下面配方正確的是（)

(二)

A.(%--)2=—B.2a

416416

C.THD.(x+-)2=—

24416

6.某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”、“北斗衛星”、“高鐵速度”三個主

題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是（

)

1112

A.-B.-C.-D.一

9633

7.已知根是一元二次方程--4x+2=0的一個根，則8%-2療+2的值是（)

A.4B.6C.8D.10

8.關于x的一元二次方程》2一2犬-5=0有（）

A.兩個相等的實數根B.兩個不相等的正數根

C.兩個不相等的負數根D.一個正數根和一個負數根

9.如圖，四邊形42CO和四邊形AEFC是兩個矩形，點8在EF邊上，若AB=1,AC=2,

則矩形AEFC的面積為（）

F

Ll3

A.2B.eC.243D.-

10.已知關于X的一元二次方程f-x+Lm=0有實數根，設此方程得一個實數根為f,令

4

y=4/一4f-+4,則（）

A.y>—2B.y...—2C.為-2D.y<—2

二.填空題（共5小題，每題4分，共20分）

11.（4分）若5—2）廿七+5*+4=0是關于x的一元二次方程，則機的值為—.

12.（4分）已知一元二次方程1+履一7=0有一根為1,則4的值為一.

13.（4分）“雙減”政策后，各校積極探索“課內提質增效，課后豐富多彩”的有效策略，

某校的課后服務活動設置了四大板塊課程：A.體育活動；3勞動技能；C經典閱讀；。科

普活動.若小明和小亮兩人隨機選擇一個板塊課程，則兩人所選的板塊課程恰好相同的概率

是—.

14.（4分）如圖，E是正方形4BCD的對角線8。上一點，連接CE,過點E作EFLA。，

垂足為點尸.若AF=6,￡C=1（）,則正方形A8C。的面積為

AD

B1C

15.（4分）如圖，已知在AABC中，48=4,BC=5,ZAZ?C=60°,在邊AC上方作等

16.（12分）解方程：

（1）X2+8X=9（用配方法解）；

（2）%2-7x+6=0;

（3）3x2-5x=2;

（4）（X+3）2=2X+6.

17.（8分）一次圓桌會議設有4個座位，主持人坐在了如圖所示的座位上，嘉賓甲、乙、

T3人等可能地坐到①、②、③中的3個座位上，請用所學的概率知識求嘉賓甲與乙相鄰而

坐的概率.

主持人

□

②

18.金都百貨某小家電經銷商銷售一種每個成本為40元的臺燈;當每個臺燈的售價定為60

元時，每周可賣出100個，經市場調查發現，該臺燈的售價每降低2元.其每周的銷量可增

加20個.

（1）臺燈單價每降低4元，平均每周的銷售量為個.

（2）如果該經銷商每周要獲得利潤2240元，那么這種臺燈的售價應降價多少元？

（3）在（2）的條件下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？

19.（8分）如圖，在中，延長BC到點E使CE=8C,連接AC,DE.

（1）求證：四邊形ACEO是平行四邊形；

（2）連接AE交。C于點尸.

①當NAFC為。時，四邊形ACE。是菱形；

②若NB=70。，則當ZAFC為。時，四邊形ACEO是矩形.

20.（12分）閱讀材料：若關于x的一元二次方程以2+樂+。=0（。X0）的兩個根為現,馬，

hr

則％+x,=-±,x,x,=-.根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：

aa

（1）材料理解：一元二次方程2V-3x-l=0的兩個根為石,王，則先+%=,

x,x2=.

（2）類比應用：已知一元二次方程2x2-3x-l=0的兩個根分別為機、“，求己+'的值.

mn

（3）思維拓展：已知實數s、f滿足2s2-3S-1=0,2r-3f-l=0,且"f,求,+1的值.

2022-2023學年陜西省西安交大附中九年級（上）開學數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1,下列方程是一元二次方程的是（）

2

A.x+2y=\B.x+y2=1C.x——=1D.%2-2=0

x

【分析】根據一元二次方程的定義，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式

方程，判斷即可.

解：A.不是一元二次方程，故A不符合題意；

B.不是一元二次方程，故3不符合題意；

C.不是一元二次方程，故C不符合題意；

D.是一元二次方程，故。符合題意；

故選：D.

2.矩形具有而菱形不具有的性質是（）

A.對邊相等B.對角線互相垂直

C.鄰邊垂直D.對角線互相平分

【分析】利用矩形和菱形的性質可直接求解.

解：,??矩形具有的性質：有對邊平行且相等，對角線互相平分，四個角是直角（鄰邊垂直），

菱形具有的性質：有對邊平行且相等，對角線互相垂直，四邊相等，

??.矩形具有而菱形不具有的性質是鄰邊垂直，

故選：C.

3.隨著生產技術的進步，某制藥廠生產成本逐年下降，兩年前生產一噸藥的成本是6000

元，現在生產一噸藥的成本是5000元.設生產成本的年平均下降為x,下列所列的方程正

確的是（）

A.6000（1+x）2=5000B.5000（1+x）2=6000

C.6000（1-x）2=5000D.5000（1-x）2-6000

【分析】利用現在生產一噸藥的成本=兩年前生產一噸藥的成本x（l-生產成本的年平均下

降率）2,即可得出關于X的一元二次方程，此題得解.

解：依題意得：6000(1-x)2=5000.

故選：C.

4.在不透明的袋子中裝有黑、白兩種球共50個，這些球除顏色外都相同，隨機從袋中摸出

一個球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，再從中摸出一個球，經過如此大量重復試驗,

發現摸出的黑球的頻率穩定在04附近，則袋子中黑球的個數約為()

A.20個B.30個C.40個D.50個

【分析】根據黑球的頻率穩定在04附近得到黑球的概率約為04根據概率公式列出方程

求解可得.

解：設袋子中有〃個黑球，

根據題意得合=04,

解得：〃=20,

故選：A.

5.用配方法解一元二次方程2--7x+6=0,下面配方正確的是()

A.(x--)2=-B.U--)2=—

416416

八/7、237c/7、，1

C.(x—)~=——D.(x+—)~=——

24416

7

【分析】先化二次項系數為1,把常數項3右移，然后等式兩邊同時加上一次項系數的

一半的平方，再整理即可.

解：由原方程得,

27.

x——x=-3,

2

2749,49

21616

(x--)2=—.

416

故選：A.

6.某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”、“北斗衛星”、“高鐵速度”三個主

題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是(

1112

A.9-B.6-3-D.3-

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，其中小明和小亮恰好選擇同一個主題的結果有

3種，再由概率公式求解即可.

解：把“5G時代”、“北斗衛星”、“高鐵速度”三個主題分別記為4、B、C,

畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結果，其中小明和小亮恰好選擇同一個主題的結果有3種，

，小明和小亮恰好選擇同一個主題的概率為13=(1,

故選：C.

7.已知機是一元二次方程1-4x+2=0的一個根，則8成-2/+2的值是()

A.4B.6C.8D.10

【分析】先利用一元二次方程根的定義得到蘇-4機=-2,再把8〃?-2/+2變形為

-2(/-4附+2,然后利用整體代入的方法計算.

解：?.?根是一元二次方程f-4x+2=0的一個根，

—4/77+2=0,

/.nr-4m=-2,

8〃7—?+2=—2("?--4優)+2=—2x(―2)+2=6.

故選：B.

8.關于工的一元二次方程/一2*-5=0有()

A.兩個相等的實數根B.兩個不相等的正數根

C.兩個不相等的負數根D.一個正數根和一個負數根

【分析】先根據根的判別式判斷方程是否有根，再根據根與系數的關系判斷兩根的正負即可.

解：x2-2x-5=0>

△=/一4ac=(-2)2-4x1x(-5)=24>0,

所以方程有兩個不相等的實數根，

設方程r-2》-5=0的兩個根為e、f,則d=-5<0,貝伊和/異號，

即方程有一個正數根和一個負數根，

故選：D.

9.如圖，四邊形ABC。和四邊形AEFC是兩個矩形，點8在EF邊上，若AB=1,AC=2,

則矩形AER7的面積為（）

B.y/3C.273D-1

【分析】由于矩形ABC。的面積等于2個A4BC的面積，而&4BC的面積又等于矩形AEFC

的一半，所以可得兩個矩形的面積關系.

解：?.?四邊形48co是矩形,

二.NABC=90°,

vAB=1,AC=2,

BC=^AC2-AB2=V3>

過3作BGJ_AC于G,則BG=AE,

S矩形ABC。=ABBC=#=2SSBC，

而S&ABC=-ACBG=-ACAE=-S^AEFC,

即S矩imco=S矩形AEFC=下,

故選：B.

10.己知關于x的一元二次方程x+!機=0有實數根，設此方程得一個實數根為人令

4

j=4r2-4r-5//Z+4,則（）

A.y>-2B.y...-2C.%-2D.y<-2

【分析】先根據根的判別式的意義得到△=（T）2-4xJ機.0,解得科,1,再根據一元二次

4

方程根的定義得到4/-4，=_〃?，所以）'=-6，〃+4,然后根據〃?的范圍得到》的范圍.

解：?.?方程x2-x+：m=0有實數根，

4

△—（-1）"-4x—m..0,

4

解得律,1,

?.?方程/一苫+:機=0的根為f,

4

八

/.V2T+一1機=0,

4

/.4/―4/+m=0,

即4?-4r=-m,

y=4/一4/-5"2+4=-m-5m+4=-6ni+4,

,??”1,

y…—2.

故選：B.

二.填空題（共5小題，每題4分，共20分）

11.（4分）若（m-2），-2+5x+4=0是關于x的一元二次方程，則，"的值為__2_.

【分析】據一元二次方程的定義，一元二次方程必須滿足三個條件：未知數的最高次數是2；

二次項系數不為0;是整式方程.由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可.

解：由題意，得

wt2-2=2.且機-2w0,

解得m=-2,

故答案為：-2.

12.（4分）已知一元二次方程丁+履一7=0有一根為1,則：的值為6.

【分析】把x=l代入方程/+區-7=0得1+%-7=0,然后解關于4的方程即可.

解：把x=l代入方程/+丘_7=0得1+%-7=0,

解得A=6.

故答案為6.

13.（4分）“雙減”政策后，各校積極探索“課內提質增效，課后豐富多彩”的有效策略，

某校的課后服務活動設置了四大板塊課程：A.體育活動；3勞動技能；C經典閱讀；。科

普活動.若小明和小亮兩人隨機選擇一個板塊課程，則兩人所選的板塊課程恰好相同的概率

是7?

【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結果，其中兩人所選的板塊課程恰好相同的結果有

4種，再由概率公式求解即可.

解：畫樹狀圖如下：

ABCD

ABCDABCDABCDABCD

共有16種等可能的結果，其中兩人所選的板塊課程恰好相同的有4種結果，

41

所以兩人所選的板塊課程恰好相同的概率為5=

164

故答案為：—.

4

14.（4分）如圖，E是正方形ABC。的對角線BO上一點，連接CE,過點E作

垂足為點F.若A尸=6,EC=10,則正方形A8C。的面積為196

【分析】連接AE,先證明AA8E=\CBE,得出AE=CE=\0,再利用勾股定理求出E尸=8,

利用等腰直角三角形的性質求出OF=FE=8,進而求出AQ=14,繼而得出答案.

解：如圖，連接AE,

???四邊形ABC。是正方形,

AB=BC,ZABE=￡CBE=ZFDE=45°,

在A48E和AC8E中,

AB=CB

</ABE=ZCBE,

BE=BE

\ABE=△CB￡(S4S),

AE=CE,

???EC=10,

AE=10,

?/EFlAD,AF=6f

：.EF=yjAE2-AF2=V102-62=8，

?.-EFlAD,NFDE=45。,

NFED=45°,

DF=FE=8,

:.AD=AF+FD=6+S=14,

品方形ABCO==14=196,

故答案為：196.

15.（4分）如圖，已知在AA8C中，AB=4,BC=5,NA8C=60。，在邊AC上方作等

邊A4CD,貝IjBD的長為

【分析】如圖，以為邊，在AB的左側作等邊A4BE,連接EC,作EFLCB交C8的延

長線于廣.利用全等三角形的性質證明8。=EC,解直角三角形求出EC即可解決問題.

解：如圖，以AB為邊，在AB的左側作等邊AABE,連接EC,作EFJ.CB交C8的延長線

于F.

D

v\ABE,AAS都是等邊三角形，

AE=AB,AC=AD,^EAB=ZDAC=60°,

NEAC=乙BAD,

AEAC三^BAD（SAS）,

/.EC=BD,

■：AABE=ZABC=60°,

NEBF=60°,

在RtAEFB中，:NF=90°,BE=AB=4,NBEF=3Q°,

:.BF=~BE=2,EF=拒BF=2#，

在RtAECF中，vZF=90°,CF=BF+BC=2+5=1,EF=2拒，

EC=^EF2+CF2=7（2^3）2+72=向,

故答案為A/61.

三.解答題（共5小題，共50分）

16.（12分）解方程：

（1）X2+8X=9（用配方法解）；

（2）%2-7x+6=0;

（3）3x2-5x=2;

（4）（x+3『=2x+6.

【分析】（1）根據配方法步驟，先將常數項移到等式右邊，方程兩邊都加一次項系數一半

的平方X2+8X+16=9+16,轉化為直接開平方法（x+4>=25求解即可；

（2）利用十字相乘法因式分解為（x-D（x-6）=0,轉化為一元一次方程x-1=0,x-6=0

來解即可；

（3）先將常數項移到左邊，將一元二次方程化為一般式，確定出。=3,b=-5,c=-2,

計算判別式的值△=3一4a=49,然后代入求根公式即可；

(4)利用提公因式法因式分解(x+3)(x+l)=。，轉化為一元一次方程x+3=0,x+l=0來

解即可.

解：(1)方程兩邊都加一次項系數8的一半4的平方得：f+8x+16=9+16，

化為(x+4尸=25,

x+4=±5,

x+4=5或x+4=-5,

解得菁=1,%=-9；

(2)因式分解得5-1)(工-6)=0,

二.工一1=0或父一6=0,

解得=1，々=6;

(3)移項得3/一5工一2=0，。=3,b=-5,c=-2,

A=b2-4ac=(一5y-4x3x(-2)=49，

???=2,x2=--；

(4)v(x+3)2=2x+6,

(x+3)?—2(x+3)=0,

(x+3)(x+3—2)=0,

(x+3)(%+1)=0,

.,.x+3=0或x+l=0,

Xj=—3,x2=-1.

17.(8分)一次圓桌會議設有4個座位，主持人坐在了如圖所示的座位上，嘉賓甲、乙、

丁3人等可能地坐到①、②、③中的3個座位上，請用所學的概率知識求嘉賓甲與乙相鄰而

坐的概率.

主持人

□

②

【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，甲與乙相鄰而坐的結果有4利空再由概率公式

求解即可.

解：畫樹狀圖如下：

甲

乙

T

共有6種等可能的結果，其中甲與乙相鄰而坐的結果有4種，

42

.?.嘉賓甲與乙相鄰而坐的概率為工=：.

63

18.金都百貨某小家電經銷商銷售一種每個成本為40元的臺燈，當每個臺燈的售價定為60

元時，每周可賣出100個，經市場調查發現，該臺燈的售價每降低2元.其每周的銷量可增

加20個.

(1)臺燈單價每降低4元，平均每周的銷售量為140個.

(2)如果該經銷商每周要獲得利潤2240元，那么這種臺燈的售價應降價多少元？

(3)在(2)的條件下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？

【分析】(1)利用平均每周的銷售量=100+每個降四的價格一20,即可求出結論；

2

(2)設這種臺燈的售價應降價x元，則每個的銷售利潤為(60-X-40)元，平均每周的銷售

量為(100+；*20)個，根據該經銷商每周要獲得利潤2240元，即可得出關于X的一元二次

方程，解之即可得出結論;

(3)由盡可能讓利于顧客，贏得市場，可得出每個臺燈應降價6元，再利用折扣率

降價后的價格-r+山j,人

—后生人—xlnOnOo%/,即nrl可求出結論.

原售價

4

解：（1）100H—x20

2

=100+40

=140（個）,

，臺燈單價每降低4元，平均每周的銷售量為140個.

故答案為：140.

（2）設這種臺燈的售價應降價n元，則每個的銷售利潤為（60-X-40）元，平均每周的銷售

x

量為（100+QX20）個，

依題意得：（60-x-40）（100+-x20）=2240,

2

整理得：x2-10%+24=0，

解得：%=4,x2=6,

答：這種臺燈的售價應降價4元或6元.

（3）???盡可能讓利于顧客，贏得市場，

；.x=4舍去，

54

??.每個臺燈應降價6元，售價為60-6=54（元），折扣率為二x100%=90%.

60

答：該店應按原售價的九折出售.

19.（8分）如圖，在QABCQ中，延長8c到點E使CE=8C,連接AC,DE.

（1）求證：四邊形ACE。是平行四邊形；

（2）連接AE交。C于點尸.

①當NAFC為90。時,四邊形ACE。是菱形；

②若NB=70°，則當ZAFC為。時，四邊形ACED是矩形.

【分析】（1）由平行四邊形的性質得出AO//BC,AD=BC,再證AO=CE,然后由平

行四邊形的判定定理即可得到結論；

(2)①證AE_LC。，再由菱形的判定即可得出結論；

②由矩形的性質、等腰三角形的性質以及三角形的外角性質即可得出結論.

【解答】(1)證明：???四邊形是平行四邊形，

AD//BC,AD=BC,

?：CE=BC,

：.AD=CE,

四邊形ACED是平行四邊形；

(2)解：①當NAFC為90。時，四邊形ACE。是菱形，理由如下：

由(1)可知，四邊形ACED是平行四邊形，

vZAFC=90°,

/.A