27/27第七篇立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖[最新考綱]1．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2．能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡單組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測畫法畫出它們的直觀圖．3．會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．4．會(huì)畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求).知識(shí)點(diǎn)1．多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多邊形．(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．(3)棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形．2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1)圓錐可以由直角三角形繞其任一直角邊旋轉(zhuǎn)得到．(2)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．(3)球可以由半圓面或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)得到．3．空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．4．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄嫖龈形?．對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(×)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．(√)2．對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱．(×)(5)上下底面是兩個(gè)平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)．(×)(6)用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓面．(√)3．對(duì)直觀圖和三視圖的畫法的理解(7)在用斜二測畫法畫水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中∠A＝45°.(×)(8)(教材習(xí)題改編)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三個(gè)視圖均相同．(×)[感悟·提升]1．兩點(diǎn)提醒一是從棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義入手，借助幾何模型強(qiáng)化空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．如(1)中例如；(2)中例如.二是圖形中與x軸、y軸、z軸都不平行的線段可通過確定端點(diǎn)的辦法來解，即過端點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線段，再借助所作的平行線段來確定端點(diǎn)在直觀圖中的位置．如(7)．2．一個(gè)防范三視圖的長度特征：“長對(duì)正、寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣高、正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬．若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法．如(8)中正方體與球各自的三視圖相同，但圓錐的不同．考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】給出下列四個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()．A．0B．1C．2D．解析①不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤．當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐．如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；④錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等．答案B規(guī)律方法(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過舉反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．【訓(xùn)練1】給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；④若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．其中錯(cuò)誤的命題的序號(hào)是________．解析認(rèn)識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故①③都不準(zhǔn)確，②中對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明，故也不正確，④平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故④也不正確．答案①②③④考點(diǎn)二由空間幾何體的直觀圖識(shí)別三視圖【例2】(2013·新課標(biāo)全國Ⅱ卷)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為()．審題路線在空間直角坐標(biāo)系中畫出四面體?以zOx平面為投影面?可得正視圖．解析在空間直角坐標(biāo)系中，先畫出四面體O－ABC的直觀圖，如圖，設(shè)O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，將以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四面體被還原成一正方體后，由于OA⊥BC，所以該幾何體以zOx平面為投影面的正視圖為A.規(guī)律方法空間幾何體的三視圖是分別從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果．【訓(xùn)練2】(2014·濟(jì)寧一模)點(diǎn)M，N分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，用過A，M，N和D，N，C1的兩個(gè)截面截去正方體的兩個(gè)角后得到的幾何體如圖1，則該幾何體的正視圖，側(cè)視圖、俯視圖依次為圖2中的()A．①②③B．②③④C．①③④D．②④③解析由正視圖的定義可知；點(diǎn)A，B，B1在后面的投影點(diǎn)分別是點(diǎn)D，C，C1，線段AN在后面的投影面上的投影是以D為端點(diǎn)且與線段CC1平行且相等的線段，即正視圖為正方形，另外線段AM在后面的投影線要畫成實(shí)線，被遮擋的線段DC1要畫成虛線，正視圖為②；同理可得側(cè)視圖為③，俯視圖為④.答案B考點(diǎn)三由空間幾何體的三視圖還原直觀圖【例3】(1)(2013·四川卷)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()．(2)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()．解析(1)由于俯視圖是兩個(gè)圓，所以排除A，B，C，故選D.(2)A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D.答案(1)D(2)D規(guī)律方法在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮．【訓(xùn)練3】若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()．解析所給選項(xiàng)中，A，C選項(xiàng)的正視圖、俯視圖不符合，D選項(xiàng)的側(cè)視圖不符合，只有選項(xiàng)B符合．1．棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問題往往轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中進(jìn)行解決．2．旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及展開圖形狀．3．三視圖畫法：(1)實(shí)虛線的畫法：分界線和可見輪廓線用實(shí)線，看不見的輪廓線用虛線；(2)理解“長對(duì)正、寬平齊、高相等”．易錯(cuò)辨析7——三視圖識(shí)圖不準(zhǔn)致誤【典例】(2012·陜西卷)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()．[錯(cuò)解]選A或D.[錯(cuò)因]致錯(cuò)原因是根據(jù)提示觀測位置確定三視圖時(shí)其實(shí)質(zhì)是正投影，將幾何體中的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線為虛線，錯(cuò)選A或D都是沒有抓住看到的輪廓線在面上的投影位置，從而導(dǎo)致失誤．[正解]還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線，D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1C[答案]B[防范措施]空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖．因此在分析空間幾何體的三視圖問題時(shí)，就要抓住正投影，結(jié)合具體問題和空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行解答．【自主體驗(yàn)】(2014·東北三校模擬)如圖，多面體ABCD－EFG的底面ABCD為正方形，F(xiàn)C＝GD＝2EA，其俯視圖如下，則其正視圖和側(cè)視圖正確的是()．解析注意BE，BG在平面CDGF上的投影為實(shí)線，且由已知長度關(guān)系確定投影位置，排除A，C選項(xiàng)，觀察B，D選項(xiàng)，側(cè)視圖是指光線從幾何體的左面向右面正投影，則BG，BF的投影為虛線，故選D.答案D練習(xí)一、選擇題1．一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是()．A．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形B．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面C．底面是菱形，具有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直D．每個(gè)側(cè)面都是全等矩形的四棱柱解析A，B兩選項(xiàng)中側(cè)棱與底面不一定垂直，D選項(xiàng)中底面四邊形不一定為正方形，故選C.2．(2014·福州模擬)沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()．解析給幾何體的各頂點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖1.A，E在側(cè)投影面上的投影重合，C，G在側(cè)投影面上的投影重合，幾何體在側(cè)投影面上的投影及把側(cè)投影面展平后的情形如圖2所示，故正確選項(xiàng)為B(而不是A)．答案B3．下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()．

A．①②B．①③C．①④D．②④解析正方體的三視圖都是正方形，不合題意；圓錐的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，符合題意；三棱臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖、俯視圖各不相同，不合題意；正四棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是三角形，而俯視圖是正方形，符合題意，所以②④正確．答案D4．(2013·汕頭二模)如圖，某簡單幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且其體積為eq\f(π,4)，則該幾何體的俯視圖可以是()．

解析若該幾何體的俯視是選項(xiàng)A，則其體積為1，不滿足題意；由正視圖、側(cè)視圖可知俯視圖不可能是B項(xiàng)；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)C，則其體積為eq\f(1,2)，不符合題意；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)D，則其體積為eq\f(π,4)，滿足題意．答案D5.

已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()．解析空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，故正視圖的高一定是2，正視圖和俯視圖“長對(duì)正”，故正視圖的底面邊長為2，根據(jù)側(cè)視圖中的直角說明這個(gè)空間幾何體最前面的面垂直于底面，這個(gè)面遮住了后面的一個(gè)側(cè)棱，綜合以上可知，這個(gè)空間幾何體的正視圖可能是C.二、填空題6．利用斜二測畫法得到的以下結(jié)論，正確的是________(寫出所有正確的序號(hào))．①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④圓的直觀圖是橢圓；⑤菱形的直觀圖是菱形．解析①正確；由原圖形中平行的線段在直觀圖中仍平行可知②正確；但是原圖形中垂直的線段在直觀圖中一般不垂直，故③錯(cuò)；④正確；⑤中原圖形中相等的線段在直觀圖中不一定相等，故錯(cuò)誤．答案①②④7．一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的________(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))．①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱．解析

顯然，三棱錐、圓錐的正視圖可以是三角形；三棱柱的正視圖也可以是三角形(把三棱柱放倒，使一側(cè)面貼在地面上，并讓其底面面對(duì)我們，如圖所示)；只要形狀合適、擺放適當(dāng)(如一個(gè)側(cè)面正對(duì)著觀察者的正四棱錐)，四棱錐的正視圖也可以是三角形(當(dāng)然，不是任意擺放的四棱錐的正視圖都是三角形)，即正視圖為三角形的幾何體完全有可能是四棱錐；不論四棱柱、圓柱如何擺放，正視圖都不可能是三角形(可以驗(yàn)證，隨意擺放的任意四棱柱的正視圖都是四邊形，圓柱的正視圖可以是圓或四邊形)．綜上所述，應(yīng)填①②③⑤.答案①②③⑤8.如圖，用斜二測畫法得到四邊形ABCD是下底角為45°的等腰梯形，其下底長為5，一腰長為eq\r(2)，則原四邊形的面積是________．解析作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，則AE＝BF＝ADcos45°＝1，∴CD＝EF＝3.將原圖復(fù)原(如圖)，則原四邊形應(yīng)為直角梯形，∠A＝90°，AB＝5，CD＝3，AD＝2eq\r(2)，∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)×(5＋3)×2eq\r(2)＝8eq\r(2).答案8eq\r(2)三、解答題9．如圖所示的是一個(gè)零件的直觀圖，試畫出這個(gè)幾何體的三視圖．解這個(gè)幾何體的三視圖如圖．10．如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖．(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；(2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積；(3)求出該幾何體的體積．解(1)正六棱錐．(2)其側(cè)視圖如圖：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長是俯視圖中的正六邊形對(duì)邊的距離，即BC＝eq\r(3)a，AD的長是正六棱錐的高，即AD＝eq\r(3)a，∴該平面圖形的面積S＝eq\f(1,2)eq\r(3)a·eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a2.(3)V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)a2×eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a3.能力提升題組一、選擇題1．一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是()．A．球B．三棱錐C．正方體D．圓柱解析球的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖均為圓，且形狀相同、大小相等；三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖可以為全等的三角形；正方體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖可以為形狀相同、大小相等的正方形；圓柱的正視圖、側(cè)視圖均為矩形，俯視圖為圓．答案D2．一個(gè)平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個(gè)邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于()．A.eq\f(\r(2),4)a2B．2eq\r(2)a2C.eq\f(\r(2),2)a2D.eq\f(2\r(2),3)a2解析根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個(gè)平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝eq\f(\r(2),4)S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積等于eq\f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq\r(2)a2.答案B二、填空題3.如圖所示，E，F(xiàn)分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影可能是________(填序號(hào))．解析由正投影的定義，四邊形BFD1E在面AA1D1D與面BB1C1C上的正投影是圖③；其在面ABB1A1與面DCC1D1上的正投影是圖②；其在面ABCD與面A1B1C1D1上的正投影也是②，故三、解答題4．已知正三棱錐V－ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積．解(1)直觀圖如圖所示：(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2eq\r(3)，∴側(cè)視圖中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))2)＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.第七章空間幾何體第2講空間幾何體的表面積與體積[最新考綱]1．了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的計(jì)算公式．2．了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算公式.知識(shí)點(diǎn)1．柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．辨析感悟1．柱體、錐體、臺(tái)體與球的面積(1)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.(×)(2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為3πa2.(×2．柱體、錐體、臺(tái)體的體積(3)(教材練習(xí)改編)若一個(gè)球的體積為4eq\r(3)π，則它的表面積為12π.(√)(4)(2013·浙江卷改編)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于24cm3.(√)(5)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為9π.(×)3．柱體、錐體、臺(tái)體的展開與折疊(6)將圓心角為eq\f(2π,3)，面積為3π的扇形作為圓錐的側(cè)面，則圓錐的表面積等于4π.(√)(7)(2014·青州模擬改編)將邊長為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BD＝a，則三棱錐D－ABC的體積為eq\f(\r(3),12)a3.(×)[感悟·提升]兩點(diǎn)注意一是求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．二是幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系.考點(diǎn)一空間幾何體的表面積【例1】(2014·日照一模)如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖，其俯視圖是面積為8eq\r(2)的矩形．則該幾何體的表面積是()．A．8B．20＋8eq\r(2)C．16D．24＋8eq\r(2)解析由已知俯視圖是矩形，則該幾何體為一個(gè)三棱柱，根據(jù)三視圖的性質(zhì)，俯視圖的矩形寬為2eq\r(2)，由面積8eq\r(2)，得長為4，則該幾何體的表面積為S＝2×eq\f(1,2)×2×2＋2eq\r(2)×4＋2×2×4＝20＋8eq\r(2).答案B規(guī)律方法(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．【訓(xùn)練1】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________．解析如圖所示：該幾何體為長為4，寬為3，高為1的長方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱后剩下的部分．∴S表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38.答案38考點(diǎn)二空間幾何體的體積【例2】(1)(2013·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π(2)(2014·福州模擬)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為()A.eq\f(\r(3),12)B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12)D.eq\f(\r(6),4)解析(1)由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成．其中長方體的長、寬、高分別為4,2,2，圓柱的底面半徑為2、高為4.所以V＝2×2×4＋eq\f(1,2)×22×π×4＝16＋8π.故選A.(2)三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).答案(1)A(2)A規(guī)律方法(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．【訓(xùn)練2】如圖所示，已知E，F(xiàn)分別是棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1－B1解法一連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)O1，連接B1D，EF過O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1，且A1C1?平面B1EF?平面B1EDF.∴A1C1∥平面B1EDF∴C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，且平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H為棱錐的高．∵△B1O1H∽△B1DD1，∴O1H＝eq\f(B1O1·DD1,B1D)＝eq\f(\r(6),6)a.O1H＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(3)a·eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(1,6)a3.法二連接EF，B1D.設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)a.由題意得，＝eq\f(1,3)·S△C1EF·(h1＋h2)＝eq\f(1,6)a3.考點(diǎn)三球與空間幾何體的接、切問題【例3】(1)(2013·福建卷)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面積是______________．

(2)(2013·遼寧卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為 ()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)審題路線(1)正方體內(nèi)接于球?正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑?求得球的半徑?代入球的表面積公式(注意只算球的表面積)．(2)BC為過底面ABC的截面圓的直徑?取BC中點(diǎn)D，則球心在BC的垂直平分線上，再由對(duì)稱性求解．解析(1)由三視圖知，棱長為2的正方體內(nèi)接于球，故正方體的體對(duì)角線長為2eq\r(3)，即為球的直徑．所以球的表面積為S＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＝12π.(2)因?yàn)樵谥比庵蠥B＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑，取BC中點(diǎn)D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對(duì)角線長即為球的直徑，所以2r＝eq\r(122＋52)＝13，即r＝eq\f(13,2).答案(1)12π(2)C規(guī)律方法解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的．【訓(xùn)練3】(2013·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 ()．A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3解析作出該球的軸截面，如圖所示，依題意BE＝2cm，AE＝CE＝4cm，設(shè)DE＝x，故AD＝2＋x，因?yàn)锳D2＝AE2＋DE2，解得x＝3(cm)，故該球的半徑AD＝5cm，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．答案A考點(diǎn)四幾何體的展開與折疊問題【例4】(1)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去△AOB，將剩余部分沿OC，OD折疊，使OA，OB重合，則以A，B，C，D，O為頂點(diǎn)的四面體的體積為________．(2)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP＋PA1的最小值為________(其中PA1表示P，A1兩點(diǎn)沿棱柱的表面距離)解析(1)折疊后的四面體如圖所示．OA，OC，OD兩兩相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2eq\r(2)，體積V＝eq\f(1,3)S△OCD·OA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3).(2)由題意知，把面BB1C1C沿BB1展開與面AA1B1B在一個(gè)平面上，如圖所示，連接A1C即可．則A1、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，CP＋∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝C1C＝3，∴A1B1＝AB＝eq\r(42＋32)＝5，∴A1C1＝5＋3＝8，∴A1C＝eq\r(82＋32)＝eq\r(73).故CP＋PA1的最小值為eq\r(73).答案(1)eq\f(8\r(2),3)(2)eq\r(73)規(guī)律方法(1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變．(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題．【訓(xùn)練4】如圖為一幾何體的展開圖，其中ABCD是邊長為6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，點(diǎn)S，D，A，Q共線，點(diǎn)P，D，C，R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來，使P，Q，R，S四點(diǎn)重合，則需要________個(gè)這樣的幾何體，可以拼成一個(gè)棱長為6的正方體．

解析由題意知，將該展開圖沿虛線折疊起來以后，得到一個(gè)四棱錐P－ABCD(如圖所示)，其中PD⊥平面ABCD，因此該四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×6×6×6＝72，而棱長為6的正方體的體積V＝6×6×6＝216，故需要eq\f(216,72)＝3個(gè)這樣的幾何體，才能拼成一個(gè)棱長為6的正方體．答案31．對(duì)于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來解決．2．求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積．3．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑.方法優(yōu)化5——特殊點(diǎn)在求解幾何體的體積中的應(yīng)用【典例】(2012·山東卷)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1－EDF的體積為[一般解法]三棱錐D1－EDF的體積即為三棱錐F－DD1E的體積．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點(diǎn)，所以在正方體ABCD－A1B1C1D1中△EDD1的面積為定值eq\f(1,2)，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).[優(yōu)美解法]E點(diǎn)移到A點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)移到C點(diǎn)，則＝＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).[答案]eq\f(1,6)[反思感悟](1)一般解法利用了轉(zhuǎn)化思想，把三棱錐D1－EDF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐F－DD1E的體積，但這種解法還是難度稍大，不如采用特殊點(diǎn)的解法易理解、也簡單易求．(2)在求幾何體體積時(shí)還經(jīng)常用到等積法、割補(bǔ)法．【自主體驗(yàn)】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1與側(cè)面BCC1B1的距離為2，側(cè)面BCC1B1的面積為4，此三棱柱ABC－A1B1C1的體積為解析補(bǔ)形法將三棱柱補(bǔ)成四棱柱，如圖所示．記A1到平面BCC1B1的距離為d，則d＝2.則V三棱柱＝eq\f(1,2)V四棱柱＝＝eq\f(1,2)×4×2＝4.答案4對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P309練習(xí)一、選擇題1．(2013·廣東卷)某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是()．A．4B.eq\f(14,3)C.eq\f(16,3)D．6解析由四棱臺(tái)的三視圖可知該四棱臺(tái)的上底面是邊長為1的正方形；下底面是邊長為2的正方形，高為2.由棱臺(tái)的體積公式可知該四棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)(12＋eq\r(12×22)＋22)×2＝eq\f(14,3)，故選B.2．(2013·湖南卷)已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于()．A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2)－1,2)D.eq\f(\r(2)＋1,2)解析由俯視圖的面積為1可知，該正方體的放置如圖所示，當(dāng)正視圖的方向與正方體的側(cè)面垂直時(shí)，正視圖的面積最小，其值為1，當(dāng)正視圖的方向與正方體的對(duì)角面BDD1B1或ACC1A1垂直時(shí)，正視圖的面積最大，其值為eq\r(2)，由于正視圖的方向不同，因此正視圖的面積S∈[1，eq\r(2)]．故選C.3．(2014·許昌模擬)如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為()．A．4πB.eq\f(3,2)πC．3πD．2π解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱，S表＝2×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋π×1×1＝eq\f(3π,2).4.如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()．A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,2)解析如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).故選A.5．(2012·新課標(biāo)全國卷)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()．A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半徑為eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.二、填空題6．(2013·遼寧卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________．解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為16π；正四棱柱底面邊長為2，高為4，故體積為16，所以幾何體的體積為16π－16.7．(2013·陜西卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為________．解析該幾何體為一個(gè)半圓錐，故其體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×22＝eq\f(π,3).8．(2013·江蘇卷)如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2解析設(shè)三棱柱A1B1C1－ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，即V1∶V2＝1∶24.三、解答題9．如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)：(1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積．解(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示．(2)這個(gè)幾何體