1、第7節(jié)立體幾何中的向量方法第一課時證明平行和垂直【選題明細表】知識點、方法利用向量解決平行問題利用向量解決垂直問題題號1,32,41.(2014湖北卷)如圖,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點,點P,Q分別在棱DD1,BB1上移動,且DP=BQ=(02).(1)當=1時,證明:直線BC1平面EFPQ;(2)是否存在,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.解:以D為原點,射線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.由已知得B(2,2,0)

2、,C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).=(-2,0,2),=(-1,0,),=(1,1,0).(1)證明:當=1時,=(-1,0,1),因為=(-2,0,2),所以=2,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直線BC1平面EFPQ.(2)設(shè)平面EFPQ的一個法向量為n=(x,y,z),則由n=(,-,1).同理可得平面MNPQ的一個法向量為m=(-2,2-,1).可得于是可取若存在,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角.則mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=1.故存在=1,使面EFPQ與

3、面PQMN所成的二面角為直二面角.2.(2016濟南市高三上學(xué)期期末)如圖,邊長為的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中ABCD,ABBC,CD=BC=AB=1,點M在線段EC上.(1)證明:平面BDM平面ADEF;(2)若EM=2MC,求平面BDM與平面ABF所成銳二面角的大小.(1)證明:如圖,因為DC=BC=1,DCBC,所以BD=,因為AD=,AB=2,所以AD2+BD2=AB2,所以ADB=90,所以ADBD,因為平面ADEF平面ABCD,EDAD,平面ADEF平面ABCD=AD,所以ED平面ABCD,則BDED.因為ADDE=D,所以BD平面ADEF,又BD平面BD

4、M,所以平面BDM平面ADEF.(2)解:在平面DAB內(nèi)過點D作DNAB,因為ABCD,所以DNCD,又因為ED平面ABCD,所以DNED.以D為坐標原點,DN所在的直線為x軸,DC所在直線為y軸,DE所在直線為z軸,建立直角坐標系,則B(1,1,0),C(0,1,0),E(0,0,),N(1,0,0),M(0,).設(shè)平面BMD的法向量為n1=(x,y,z),所以所以令x=1,得n1=(1,-1,).因為平面ABF的法向量n2=(1,0,0),所以cos=.所以平面BDM與平面ABF所成銳二面角是.3.(2016棗莊市高三3月模擬)如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,側(cè)棱AA1平面ABC

5、D,底面ABCD為菱形,ABC=120,AB=AA1=2,ACBD=O,E,F分別是線段A1D,BC1的中點.延長D1A1到點G,使得D1A1=A1G.(1)證明:GB平面DEF;(2)求直線GD與平面DEF所成角的正弦值.證明:如圖,以O(shè)為坐標原點,分別以系Oxyz.,的方向為x軸,y軸的正方向,建立空間直角坐標(1)在菱形ABCD中,AB=AD=BC=2,ABC=120,所以BD=2,AC=2,O為AC和BD的中點.又AA1平面ABCD,AA1=2.可得B(1,0,0),D(-1,0,0),A1(0,-,2),C1(0,2),D1(-1,0,2).由E,F分別是線段A1D,BC1的中點,得

6、E(-,-,1),F(,1).由=,求得G(1,-2,2).于是=(-,-1),=(1,0),=(0,2,-2).設(shè)平面DEF的一個法向量n=(x,y,z).由得令y=-1,得x=,z=-.所以n=(,-1,-).所以n=0+2(-1)+(-2)(-)=0,所以n.又GB平面DEF,所以GB平面DEF.(2)由(1)得面DEF的法向量n=(,-1,-).而=(-2,2,-2),設(shè)直線GD與平面DEF所成的角為,則sin=|cos|=.4.導(dǎo)學(xué)號18702400如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分別為A1B1,B1C1,C1D1的中點.(1)求證:AG平面BEF;(2)試在棱BB1上找一點M,使DM平面BEF,并證明你的結(jié)論.(1)證明:以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸和z軸建立空間直角坐標系,則A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,1),F(,1,1),G(0,1),=(-,0),=(-,0,1),而=(-1,1),